习题1.2课程导入及其完整教案

函数基本性质

一、函数的单调性

1．定义：

2．函数单调性的判断方法：

（1）定义法：

根据定义证明函数单调性的步骤：

①在指定区间内任取两个自变量的值，并规定其大小；

②求出自变量对应的函数值；

③比较两个函数值的大小（差比法，商比法）；

④写出结论．

（2）一般性结论：

①两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；

②如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一个子区间上也是增（减）函数；

③如果yf(x)和ug(x)单调性相同，那么yf[g(x)]是增函数；如果yf(x)和ug(x)单调性相反，那么yf[g(x)]是减函数，即根据：增增──增；减减──增；增减──减；减增──减的判断方法，判断该复合函数的增减性．

二、函数的奇偶性

1．定义：

2．判断函数奇偶性的方法：

（1）定义法：

步骤：

①研究定义域；

②求f(x)的值；

③比较f(x)与f(x)的值；

④作出结论．

（2）根据图象：

3．奇偶函数图象的对称性：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

三、应用举例

1．证明：函数f(x)x1在(,)上是单调增函数。

1 3

2x3(x0)是奇函数，f(x)2x3．

f(x)(x0)3．若函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是（

D

）

A．(,2)

B．(2,)

C．(,2)(2,)

D．(2,2)

4．奇函数yf(x)在[3,7]上是增函数，在[3,6]上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)（

D

）

A．5

B．5

C．13

D．15

5．设奇函数yf(x)在[1,1]上是增函数，且f(1)1，若函数f(x)„t22at1对所有的x[1,1]都成立，当a[1,1]时，则t的取值范围是2．如果函数y（

C

）

112

B．剟t

2211C．t…2或t„2或t0

D．t…或t„或t0

226．设定义在2,2的偶函数fx在区间0,2上单调递减，若f1mfm，A．2剟t求实数m的取值范围．

解：∵

fx是偶函数，∴

fxfxf∴

f1mfmf1mf又当x0,2时，fx是减函数．

x，

m．

1mm∴

2?1m?2，解得

1剟m2剟m21．

27．已知函数yf(x)的定义域为R，对任意实数m、n，均有11f(mn)f(m)f(n)1，且f()0，当x时，f(x)0．

22（1）求证：yf(x)是单调递增函数；

（2）解关于x的不等式：f(x2x3)1．

（1）证明：设x1,x2R，且x1x2，则

f(x2)f(x1)f[(x2x1)x1]f(x1)f(x2x1)1

f(x2x1)f()1f(x2x1)

∵

x2x121212111，∴

f(x2x1)0，

222另证：令mn0，则f(0)1，

2

1，f(x)0．

211∴

f(x)f()f(x)10，

22∴

当x0时，f(x)1，

设x1,x2R，且x1x2，则x2x1h(h0)，

∵

x

∴

f(x2)f(x1)f(h)10，

即f(x2)f(x1)，yf(x)是单调递增函数．

2

（2）解：原不等式等价于：x2x30，解得：1x3．

3