习题2.3PPT配套教学设计内容

2.3

幂函数

一、A组

1.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则

(

)

A.n>0,00,m>1 D.n<0,m>1 答案:B 2.函数y=3xα-2的图象过定点(

)

A.(1,1) B.(-1,1)

C.(1,-1) D.(-1,-1) 答案:A 3.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是(

A.f(x)=x-1

B.f(x)=x-2

C.f(x)=x3

D.f(x)=

答案:C 4.已知a=1.,b=0.,c=,则(

) A.c

B.c

C.b

D.a

解析:b=0.,c==1., ∵>0,且1.2>>1.1, ∴1.>1., )

即a>b>c.

答案:A 5.已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(

) A.0<α<1 B.α<0 C.α<1 D.α>1 解析:由幂函数的图象特征知α<1.

答案:C 6.函数y=x-2在区间上的最大值为

.

解析:∵函数y=x-2在区间上是减函数, 故该函数在区间上的最大值为=4.

答案:4 7.已知函数y=(m2-9m+19)x2m-9是幂函数,且图象不过原点,则m=

.

解析:令m2-9m+19=1,得m=3或m=6.当m=6时,原函数为y=x3过原点,不合题意,舍去.故m=3.

答案:3 8.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是

.

解析:由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.

答案:9 9.已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数),问: (1)当a为何值时,此函数为幂函数? (2)当a为何值时,此函数为正比例函数? (3)当a为何值时,此函数为反比例函数? 分析:根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.

解:(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,

解得a=.

(2)由题意知解得a=4.

(3)由题意知解得a=3.

10.已知函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数.

(1)求m的值; (2)求函数g(x)=h(x)+在区间上的值域.

解:(1)∵函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数, ∴m2-5m+1=1, 解得m=0或m=5.

∵h(x)为奇函数,∴m=0.

(2)由(1)可知,g(x)=x+, 令=t,则x=.[来源:学科网ZXXK]

∵x∈∴t∈[0,1].

, ∴g(t)=-t2+t+=-(t-1)2+1,易知其值域为.

二、B组1.已知幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象经过点[来源:学科网ZXXK]

,则k+α=(

) A.

B.1 C.

D.2

解析:∵幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象经过点, ∴k=1,,∴α=-.

∴k+α=1-答案:A 2.已知幂函数f(x)=(

)

A.0,1,2 [来源:Z#xx#k.Com].故选A.

(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则m的值可能为C.1,2 D.1 B.0,2 解析:当m=0或m=2时,f(x)=x-3为奇函数,排除A,B,C选项.故选D.

答案:D 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是(

) A.f(x)=

C.f(x)=x3

B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2-x

解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数,易知f(x)=在区间(-∞,0)上单调递增,f(x)=x2+1在区间(-∞,0)上单调递减,故选A.

答案:A 4.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,则当x=

时,有f(x)>g(x).

解析:设f(x)=xα,g(x)=xβ, 由题意,得2=()α,即α=2;-=(-2)β,即β=-1.

作出f(x)与g(x)的图象如图所示.

从图中可看出当x<0或x>1时,f(x)>g(x).

答案:(-∞,0)∪(1,+∞) 5.若(a+1<(2a-2,则实数a的取值范围是

.

解析:∵幂函数y=在R上为增函数,(a+1,∴a+1<2a-2,∴a>3.

答案:(3,+∞) 6.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在区间[0,+∞)上是增函数,则a=

.

解析:当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-在区间[0,+∞)上为减函数,不合题意;若0

答案:

7.已知f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).

(1)由5=2+3,请你探究g(5)能否用f(2),g(2),f(3),g(3)来表示; (2)如果你在(1)中获得了一个结论,请探究能否将其推广.

解:(1)∵g(5)=,而f(2)g(3)+g(2)f(3) =

=(a5+a-a-1-a-5+a5-a+a-1-a-5)

=(a5-a-5), ∴g(5)=f(2)g(3)+g(2)f(3).

(2)由(1)可得g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).

证明:f(x)g(y)+g(x)f(y) =

=(ax+y+ay-x-ax-y-a-y-x+ax+y-ay-x+ax-y-a-x-y)=(ax+y-a-x-y)=g(x+y).

(k∈N*)的图象关于y轴对称,且8.(2016·湖南长沙一中高一期中)已知幂函数f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数.

(1)求函数f(x)的解析式; (2)若a>k,比较(ln a)0.7与(ln a)0.6的大小.解:(1)因为幂函数f(x)=1

因为k∈N*,所以k=1,2.

又因为幂函数f(x)=[来源:学科网]

(k∈N*)在区间(0,+∞)上是减函数,所以k2-2k-3<0,解得-(k∈N*)的图象关于y轴对称,所以k=1,函数的解析式为f(x)=x-4.

(2)由(1)知,a>1.

当1

当a=e时,ln a=1,(ln a)0.7=(ln a)0.6; 当a>e时,ln a>1,(ln a)0.7>(ln a)0.6.

故当1e时,(ln a)0.7>(ln a)0.6.