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高一数学必修一知识点总结

第一章

集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上最高的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：X Kb 1.C om

非负整数集（即自然数集）

记作：N 正整数集 ：N*或 N+ 整数集： Z 有理数集： Q 实数集： R 1）列举法：{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR|x-3>2} ,{x|x-3>2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合

例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

B或BA 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①

任何一个集合是它本身的子集。AA

②

真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A③

如果

AB, BC ,那么

AC

④

如果AB 同时

BA

那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，

空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2个子集，2集

nnB(或BA) -1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子三、集合的运算

1

运算类交 集

并 集

补 集

型

定 由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属于设S是一个集合，A是S的义

的元素所组成的集合,集合B的元素所组成的集一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫叫做A,B的交集．记作合，叫做A,B的并集．记做S中子集A的补集（或余AB（读作‘A交B’），作：AB（读作‘A并B’），集）新

课

标

第

一

网

即AB=｛x|xA，且即AB ={x|xA，或记作CSA，即

xB｝．

韦

恩

图

示

xB})．

CSA={x|xS,且xA}

S A

B

A

B

A

?1

?2

性 AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA 质

ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ

ABB

(CuA)  (CuB) = Cu (AB) (CuA)  (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ．

二、函数的有关概念

1．函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致 (两点必须同时具备) 2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数

y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

2

(2) 画法w

W

w .x

K b 1.c o M

1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

（2）

图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

（1）任取x1，x2∈D，且x1

（2）作差f(x1)－f(x2)；或者做商

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

（5）下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；新

|课

|标|第

|一| 网

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) ○= 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 10、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

3

logaN—

对数式）

说明：○1

注意底数的限制a0，且a1；

2

axNlogaNx；

○3

注意对数的书写格式．

○两个重要对数：

1

常用对数：以10为底的对数lgN；

○指数式与对数式的互化

幂值 真数

logaN

2

自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．

○ab＝ NlogaN＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：

1

loga(M·N)logaM＋logaN；http:// w ww.x kb1.com

○MlogaM－logaN；

N3

logaMnnlogaM (nR)．

○2

loga○注意：换底公式：logablogcb

logca（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

利用换底公式推导下面的结论：（1）logambn1n．logablogbclogca1

logab；（2）logabmlogbalogaN（3）、重要的公式

①、负数与零没有对数；

②、loga10，logaa1

③、对数恒等式aN

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y2log2x，ylog5x

都不是对数函数，5而只能称其为对数型函数．

2

对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．

○2、对数函数的性质：

a>1 32.521.50

-2.5

定义域x＞0 值域为R 在R上递增

函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

定义域x＞0 值域为R 在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

1、幂函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；

5 

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

第四章

函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1

（代数法）求方程f(x)0的实数根；

○2

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

○4、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．X k

B 1

. c

o m

（1）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程axbxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

收集数据

画散点图

不

选择函数模型

符

合

实际

求函数模型

检验

符合实际

新课

标第

一

网

http://www.xkb1.com

222w

W w .x K b 1.c o M

新

课

标

第

一

网

用函数模型解释实际问题

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