习题2.3教学评价实录

幂函数

1最新考纲

1.了解幂函数的概念；3.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x2的图象，了解它们的变化情况．

知

识

梳

理

．

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

1

)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x∈R，

且x≠0} {y|y∈R，

且y≠0} 奇

(－∞，0)减，(0，＋∞)减

(1，1) y＝x y＝x

21y＝x

3y＝x2

y＝x－1

值域

奇偶性

单调性

定点

R

奇

增

[0，＋∞)

偶

(－∞，0]减，

[0，＋∞)增

R

奇

增

[0，＋∞)

非奇非偶

增

(0，0)，(1，1)

诊

断

自

测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0)．(×) (2)幂函数的图象不经过第四象限．(√) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×) 24ac－b

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4a.(×) 12．(2015·湛江二模)若关于x的方程x2＋mx＋4＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(

) A．(－1，1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2，2) 1解析

因为关于x的方程x2＋mx＋4＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝m21－4×4×1＞0，即m2＞1，解得m＜－1或m＞1，故选B.

答案

B 3.（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为(

) 932A．9

B.2

C．3

D.2

解析

因为（3－a）（a＋6）＝18－3a－a2

＝3281－a＋2＋4，由于－6≤a≤3，

39所以当a＝－2时，（3－a）（a＋6）有最大值2.

答案

B 4．函数y＝x3的图象是(

) 1

1解析

显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x3＞x；当x＞1时，x3＜x，知只有B选项符合．

答案

B 1

25．(人教A必修1P82A10改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点2，，则此2函数的解析式为________；在区间________上递减．

答案

y＝x2

(0，＋∞)

幂函数的图象和性质

3(1)(2014·韶关质检)已知点，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(

) 3A．奇函数

B．偶函数

C．定义域内的减函数

D．定义域内的增函数

(2) ，1的大小关系为________．

α－13α解析

(1)设f(x)＝x，由已知得＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易3知该函数为奇函数．

(2)把1看作，幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数．

.

∵0＜0.9＜1＜1.1，即答案

(1)A

(2) 规律方法

(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式．(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

【训练3】

(1)已知幂函数f(x)＝(t2－t＋1)·t的值为(

) A．0

B．－1或1

C．1

D．0或1 (2)(2014·潍坊模拟)当0＜x＜1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．

(t∈N)是偶函数，则实数

解析

(1)因为函数为幂函数，所以t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，所以t＝0或t＝1.当t＝0时，函数为f(x)＝为偶函数，所以t＝1.

(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)＞g(x)为奇函数，不满足条件．当t＝1时，f(x)＝＞f(x)．

答案

(1)C

(2)h(x)＞g(x)＞f(x)

[思想方法] 1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象和性质求解．

2．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征

α＞0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α＜0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．

[易错防范] 1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是

A．－4

B．4

C．－2

D．2

(

) 解析

二次函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.

答案

A 2．(2014·郑州检测)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，

则函数f(x)

(

) A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增

B．在(－∞，3)上递增

C．在[1，3]上递增

D．单调性不能确定

解析

由已知可得该函数的图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．

答案

A 3．若a＜0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是 A．5－a＜5a＜0.5a

C．0.5a＜5－a＜5a

－a

(

)

B．5a＜0.5a＜5－a

D．5a＜5－a＜0.5a

11a解析

5＝5，因为a＜0时，函数y＝xa单调递减，且5＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.

答案

B 4．(2015·蚌埠模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于

(

) bA．－2a

C．c

bB．－a

4ac－b2D.4a

bb解析

∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的图象关于x＝－2a对称，∴x1＋x2＝－a.

b2bb－∴f(x1＋x2)＝f ＝a·a2－b·a＋c＝c.

a答案

C 5．(2014·山东师大附中期中)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的

(

) A．必要不充分条件

C．充分必要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析

函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x－4ax＋3在区间[2，2

＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．

答案

B 二、填空题

6．二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．

1答案

y＝2(x－2)2－1 17．当α∈－1，2，1，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．

1α解析

当α＝－1、1、3时，y＝x的图象经过第一、三象限；当α＝2时，y＝xα的图象经过第一象限．

答案

二、四

8．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________．

解析

令f(x)＝x2－11x＋30＋a.

Δ≥0，1结合图象有∴00，1答案

0，4

三、解答题

9．(2015·绵阳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．

解

(1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，

b且－2a＝－1，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，

单调增区间为[－1，＋∞)．

(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，

转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．

设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1. ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．

10.(2014·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；

(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；

(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值．

解

(1)f(x)在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增．

(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，

∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，

2x－2x（x＞0），∴f(x)＝2

x＋2x（x≤0）.(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴为x＝a＋1，

当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；

当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．

a

（a≤0），1－22综上，g(x)min＝－a－2a＋1

（0＜a≤1），

2－4a

（a＞1）.能力提升题组

(建议用时：25分钟) 11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 A．(0，1)

(

) B．(0，1] D．(－∞，1] C．(－∞，1)

1解析

用特殊值法．令m＝0，由f(x)＝0得x＝3适合，排除A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1适合，排除C.

答案

D

12．(2014·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是

A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定

解析

f(x)的对称轴为x＝－1，因为1＜a＜3，

则－2＜1－a＜0，若x1＜x2≤－1，则x1＋x2＜－2，

不满足x1＋x2＝1－a且－2＜1－a＜0；若x1＜－1，

x2≥－1时，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a＞0(1＜a＜3)，

此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)＞f(x1)；

若－1≤x1＜x2，则此时x1＋x2＞－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)＜f(x2)．

答案

A 13．(2015·江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是________．

解析

当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意．

答案

(－∞，1) 14．(2015·雅安模拟)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0. b(1)求证：－2

(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．

(1)证明

当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，

则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知矛盾，因而a≠0，

则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0 bbb即a＋1a＋2<0，从而－2

x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，

(

)

a＋b2b则x1＋x2＝－3a，x1x2＝－3a，

a＋b4b24b42b2那么(x1－x2)＝(x1＋x2)－4x1x2＝－3a＋4×3a＝9·a＋3a＋3

224b321＝9a＋2＋3. b14∵－2

3232∴3≤|x1－x2|<3，即|x1－x2|的取值范围是，. 33