阅读与思考 集合中元素的个数课堂实录及点评

《§1.3三角函数的诱导公式（第一课时）》说课稿

一、教材分析

1、教材的地位和作用

《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质。前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数值的定义，在此基础上，继续学习这五组公式，为以后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等打好基础，它体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，诱导公式在本章中起着承上启下的作用。

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，使学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

本节共二课时，第一课时为公式二、三、四。 2、教学重点和难点

教学重点：利用三角函数的定义借助单位圆，特别是观察角的终边的对称性与角的终边上与单位圆的交点的对称性，推导出诱导公式。

教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、目标分析

根据《普通高中新课程标准》的要求和教学内容的结构特征，依据学生的心理规律和素质教育的要求，结合学生的认知水平，制定本节课的教学目标如下：

1.知识目标：通过本小节的学习要使学生理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．

2.能力目标：借助单位圆中的对称关系,启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力. 3.情感目标：让学生在分析问题，解决问题的过程中体验成功的喜悦，培养学生的自信心．

4.德育目标：通过本节的学习使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想,并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯。

三、教法分析

根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课采用“研知--展示--探究”三环节高效课堂教学模式。

1、回顾已有知识结合教材思考探究，创设问题情境，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的。

2、由圆的对称性出发，通过问题类比、方法迁移，发现相应的角终边之间的对称关系，完成从特殊到一般的归纳推理训练，培养学生的创新能力。

3、采用问题设疑，学生展示，组长点评，层层深入，让学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神，体现“数形结合”的思想方法。。

4、通过训练案和拓展探究题，把诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力。

根据上述教材分析和目标分析，贯彻启发性教学原则，体现新课程的“问题性”、“科学性”与“思想性”，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：以教师为主导学生为主体的启发式与探究式相结合的“研知--展示--探究”三环节高效课堂教学模式。

四、学法分析

在教师的组织和引导下学生以自主预习、小组展示、组长点评的方式进行学习。在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展。 1、充分利用导学案引导学生完善从特殊到一般的认知过程；

2、总结记忆规律，加强公式的记忆；

3、通过展示和探究问题的学习，强化知识的运用。

五、教学过程设计

本节课的教学过程设计以新课标为依据，遵循教师为主导、学生为主体的原则。下面从“研知--展示--探究”三环节高效课堂教学模式来谈谈我对本节课的教学设想：

一、知识回顾：1．终边相同的角的三角函数。

问题1-1：在单位圆中，什么时候“角的终边位置”会重复出现？什么时候三角函数值会重复出现？

要求学生把分析的结论用数学等式表示出来：

sin(2k)sincos(2k)costan(2k)tan(kZ)(kZ)

(kZ)问题1-2 ：角与角2k(kZ)的三角函数值为什么相等呢？

（让学生回到定义去解决问题）

（1）小结：

回顾解决问题的思路，得到下面的框图

终边上（对应）点终边位置重合

角之间的数量关系的坐标（形的关系）

与



2k(kZ)

P(x,y)和P(x,y)（数量关系）

（数量关系）

（2）应用

练习

求值：

（1）sin三角函数值间的关系

sin(2k)sincos(2k)costan(2k)tan(kZ)(kZ)(kZ)（数量关系）

9；

（2）cos（－690°）.

4指出：利用这组公式，我们可以把任意角的三角函数值转化成我们熟悉的0~2角的三角函数值。（出示框图）

任意角的三角函数

公式1 0~2角的三角函数

设计意图：新课标强调：“要重视数学知识的发生、发展过程的教学”。三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此考虑从终边的位置关系提出问题，通过思考问题、解决问题的过程，让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系。感知三角函数的周期性。

二．研究新知：

1.阅读教科书第23页的“思考”，你能说说从圆的对称性出发，相应的角之间有什么关系？相应的三角函数值有什么关系？可以得到哪些三角函数的性质？（引导学生建立圆的性质与三角函数的诱导公式之间的联系。）

2.阅读教科书第23页的“探究”，并以问题（1）为例，说明你的探究结果。你能说明自己探究的结果为什么成立吗？（引导学生利用三角函数的定义证明公式二。）

（探究一）．角与角的三角函数的关系：

（1）角与角的终边具有什么样的位置关系？

（2）相应地，角与角的终边上点的坐标具有什么关系？

（3）（进而有）角与角的三角函数值有什么关系？

sin()sin讨论得公式2：

cos()cos

tan()tan（3）小结

回顾解决问题的思路，得到下面的框图

角之间的数量关系与＋

（数量关系）

终边对称于原点

（形的关系）

终边上（对应）点的坐标间的关系和P'(x,y)P(x,y)

（数量关系）

三角函数值间的关系

（数量关系）

sin()sincos()costan()tan

（4）应用

练习

求值：（1）sin7;

（2）

tan225.

6指出：这组公式揭示了角与角间的关系，因而利用这组公式我们可以将~2

角的三角函数转化成0~的三角函数。

公式2 ~2的三角函数

0~的三角函数

设计意图：由终边重合过渡到终边关于原点对称，符合学生认知规律，再次体会正切函数的周期性。

3.用类似的方法探究终边分别与角α的终边关于x轴、y轴对称的角与α的数量关系？它们的三角函数间又有什么关系？能否证明？（让学生加深理解利用单位圆的对称性研究三角函数性质的思想方法。）

（展示探究二）．角与－的三角函数的关系

角与角的三角函数的关系

问题3：终边关于x轴对称的角与角－的三角函数有什么样的关系？

具有什么样数量关系的两个角的终边才会关于y轴对称呢？

终边关于y轴对称的角与角的三角函数又有什么样的关系呢？

sin()sin推导出公式3：

cos()cos

tan()tan总结思路并指出：利用这组公式可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值。

公式3 负角的三角函数

正角三角函数

sin()sin推导出公式4：

cos()cos

tan()tan（3）小结

根据研究思路补充框图

探究拓展：根据第二、三组公式能否推导第四组公式？

根据这三组公式中任两组公式是否都能推导出另外一组公式呢？

4.你能概括一下探究公式二、三、四的思想方法吗？

（及时概括思想方法，提高学习活动中的思想性。）

5.请你能概括一下公式二、三、四的特点及其作用。

（深化对公式的理解。函数名不变，符号看象限。）

6.典型例题1,2.让学习小组完成后进行课堂讲解，教师做适当评价。

（通过对公式的应用，加深对公式的理解。）

思考：运用诱导公式将任意角三角函数转化成锐角三角函数的一般步骤？

讨论得到如下程序：

任意负角的

三角函数

用公式三或一任意正角的

三角函数

用公式一

0o

的三角函数

到

360

o

的角

用公式

二或四

锐角三

角函数

解题过程实际上是一个不断转化与化归的过程。它揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数值之间的关系。（和同角三角函数关系式不同，诱导公式反映了具有特定关系的两个角之间的三角函数值之间的关系。）

三（总结归纳）：通过本节的学习，谈谈你对研究诱导公式的思想方法的认识。（学习小组讨论并派代表发表意见，再进行总结。通过进一步的概括活动，提高数学思维能力。）

（1）

三角函数诱导公式的推导。

公式的实质是将终边对称的图形关系翻译成三角函数之间的代数关系。

其思路为：角的数量关系→终边位置的对称关系→终边上点的坐标关系→三角函数间的关系。（对照框图）

角之间的数量关系（数量关系）

终边位置的对称关系：

（形的关系）

终边上（对应）点的坐标间的关系…

（数量关系）

三角函数值间的关系

（数量关系）

（2）三角函数诱导公式的运用（求值、化简等）。

（3）数学思想方法：数形结合、转化与化归。

设计意图：引导学生对本课内容进行归纳小结，深刻领会诱导公式的实质、作用，利于学生形成知识网路和方法网路。

六、布置作业

训练学案A

拓展应用：

1、下列函数为奇函数的是

。

（1）f(x)cos2x

（2）f(x)xsinx

（3）f(x)xtanx

12cos(x)cos(2、已知

，则



x

)＝

。

353设计意图：巩固本课所学内容，强化基本方法与技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质，练习题由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展，体现因材施教的原则。

七、结束

以上，我仅从说教材，说学情（目标、重点、难点），说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。说课对我仍是新事物，今后我也将进一步加强说课练习，同时希望各位专家领导对本堂说课提出宝贵意见！谢谢！

附：

板书设计：

1.2.3三角函数的诱导公式

例题解答

sin(2k)sin(2k)cos终边相同

costan(2k)tan(kZ)(kZ)

(kZ)sin()sin终边关于原点对称

cos()cos

tan()tansin()sin终边关于x轴对称

cos()cos

tan()tansin()sin终边关于y轴对称

cos()cos

tan()tan