信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优秀教案内容

工欲善其事

必先利其器

选修4-4 极坐标教学设计

授课时间：2019年3月19日

授课教师：李春立

【考点】

1.极坐标方程与直角坐标方程的互化；

2.会写出简单图形的极坐标方程

【核心梳理】

极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的

，θ称为点M的

。一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

(2)极坐标与直角坐标的互化公式：

x

y3．常见曲线的极坐标方程

曲线

2

tanxk.Com]图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

圆心为(r,0)，半径为r的圆

工欲善其事

必先利其器

π圆心为(r，)，半径为r的圆

2

过极点，倾斜角为α的直线

过点(a,0)，与极轴垂直的直线

π过点(a，)，与极轴平行的直线

2【夯实基础】

3π1．(课本习题改编)将极坐标(2，)化为直角坐标为(

) 2

A．(0，2)

B．(0，－2) C．(2，0) D．(－2，0) 2．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为(

) A．x2＋y2＝0或y＝1

C．x2＋y2＝0或x＝1

3．在极坐标系中，过点(2，

B．x＝1 D．y＝1 π)且与极轴平行的直线方程是(

) 2

D．ρsinθ＝2 πA．ρ＝0

B．θ＝

C．ρcosθ＝2

24．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(

) πA．(1，)

2π

B．(1，－)

C．(1，0)

2

D．(1，π) π7π5．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ－)＝2，点A的极坐标为A(22，)，44则点A到直线l的距离为________．

【例题分析】

题型一

极坐标与直角坐标方程的互化

例1：将直角坐标方程与极坐标方程互化．

π(1)y2＝4x；

(2)y2＋x2－2x－1＝0；

(3)θ＝(ρ∈R);

3

工欲善其事

必先利其器

θ(4)ρcos2＝1；

(5)ρ2cos2θ＝4;

2变式训练1：

(6)ρ＝. 2－cosθ1(1)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________；

(2)若点P的极坐标为(3，－π)，则点P的直角坐标为________；

4π9πππ(3)判断点A(2，)，B(3，)，C(－2，)是否在直线θ＝(ρ∈R)上；

4444π(4)求直线θ＝(ρ∈R)和ρ＝2的交点的极坐标．

4题型二

直线、圆的极坐标方程

π例2：圆心C的极坐标为(2，)，且圆C经过极点．

4(1)求圆C的极坐标方程；

(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．

变式训练2：

π已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin(θ－)＝6.

3(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；

(2)求C1，C2交点间的距离．

工欲善其事

必先利其器

题型三

极坐标方程的应用

例3：

(2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1: x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

π(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N ，求△C2MN的面积．

4

变式训练3

：

(2017·邯郸一中)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线Cπ的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

3(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

课堂小结：

(1)

极坐标与直角坐标互化的前提条件：

①极点与原点重合

②极轴与x轴的正半轴重合

③取相同的单位长度．

(2)直角坐标方程与极坐标方程互化思路：

直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．