阅读与思考 “且”“或”“非”与“交”“并”“补”特级教师教学实录

阅读与思考：“且或非”与“交并补”教学设计

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间存在对应关系．

(2)会运用逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间的对应关系解决实际问题．

2．过程与方法

通过对逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间关系的探究，运用逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间的对应关系解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

能够运用逻辑联结词分析数学和日常生活中的问题，增强思维的敏锐性、准确性．

重点对学生的“逻辑推理”这一数学核心素养的培养。

●重点难点

重点：逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间关系的探究．

难点：运用逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间的对应关系探究并解决实际问题．

由于逻辑联结词是逻辑知识的基础，也是学生能否掌握和判断一个事物并形成正确的逻辑思维能力的关键，所以探究逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间存在对应关系的和应用这一关系解决实际问题是重点，也是本节的难点．

为了突出重点，突破难点，在教学上可采取以下的措施：

(1)从学生已有的知识出发，通过复习，逐步引导学生观察、探讨、联想，归纳逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间存在对应关系，从中体会逻辑的思想．

(2)通过逻辑联结词“且或非”与集合运算“交并补”之间的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对对应关系的理解，抓住其本质特点．

(教师用书独具) ●教学建议

依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主、讲解法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．

为此，在教学活动中，通过复习、举例，让学生观察，找出“且或非”与

“交并补”

之间的区别和联系，从中发现问题，并通过简单的指导，启发学生与已有的知识做模拟，来加深对理性知识的理解．现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键、因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察、分析讨论、模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用．

●教学流程

探究应用从联结词、集合运算的复习，引入课题――→从集合角度认识逻辑联结词的数学意义――→通发现探究过例题，探究简单命题的复合，深化对逻辑联结词的认识――→“且或非”与

“交并补”发现存在对应关系―→反馈矫正―→归纳总结

【复习】命题p、q与“且”、“或”、“非”

P 真

真

假

假

p∧q

p∨q

﹁p

q 真

假

真

假

思考：逻辑联结词“且”“或”“非”与集合的“交”“并”“补”之间有关系吗？

【复习】集合P、Q与“交”

P

a∈P

a∈P

aP

aP

Q

a∈Q

aQ

a∈Q

aQ

P∩Q

Venn图表示为（作图）

【探究一】命题p、q与“且”对应集合P、Q与“交”

【例1】

命题p: 2是偶数

命题q: 2是素数 命题p∧q：_______________________________是_____命题（真、假）

由集合的“交”运算可以知道：

偶数

素数

由２∈｛偶数｝，２∈｛素数｝，

可以得到_______________________________ 2

如果把“真”对应于“∈”，“且”对应于“交”，那么，“２是偶数是真命题”可以对应于“２∈｛偶数｝”，“２是质数是真命题”可以对应于“２∈｛素数｝”，“２是偶数且是质数是真命题”就可以对应于“２∈｛偶数｝∩｛素数｝”. 对于逻辑联结词“且”有：（i）如果p，q都是真命题，则p∧q是真命题；

对于集合的“交”有：(i)若a∈Ｐ，a∈Q，则a∈P∩Q；

【例1】变式1：

命题p: 2不是偶数

命题q: 2是素数 命题p∧q：_______________________________是_____命题（真、假）

由集合的“交”运算可以知道：

偶数

素数

由２｛偶数｝，２∈｛素数｝，

可以得到_______________________________

如果把“假”对应于“”，“且”对应于“交”，那么，“２不是偶数是假命题”可以对应于“２｛偶数｝”，“２是质数是真命题”可以对应于“２∈｛素数｝”，“２不是偶数且是质数是假命题”就可以对应于“２｛偶数｝∩｛素数｝”. 2

【例1】变式2：

命题p: 2是偶数

命题q: 2不是素数 命题p∧q：_______________________________是_____命题（真、假）

由集合的“交”运算可以知道：

偶数

素数

由２∈｛偶数｝，２｛素数｝，

2 可以得到_______________________________

“２是偶数是真命题”可以对应于“２∈｛偶数｝”，“２不是质数是假命题”可以对应于“２｛素数｝”，“２是偶数且不是质数是假命题”就可以对应于“２｛偶数｝∩｛素数｝”.

【例1】变式3：

命题p: 2不是偶数

命题q: 2不是素数 命题p∧q：_______________________________是_____命题（真、假）

由集合的“交”运算可以知道：

偶数

素数

由２｛偶数｝，２｛素数｝，

可以得到_______________________________

“２不是偶数是假命题”可以对应于“２｛偶数｝”，“２不是质数是假命题”可以对应于“２｛素数｝”，“２不是偶数且不是质数是假命题”就可以对应于“２2 ｛偶数｝∩｛素数｝”. 对于逻辑联结词“且”有：（i）如果p，q都是真命题，则p∧q是真命题；

（ii）p，q中有一个是假命题，则p∧q是假命题；

对于集合的“交”有：(i)若a∈Ｐ，a∈Q，则a∈P∩Q；

(ii)若aP或aQ，则aP∩Q.

结论：通过探究，“且”与“交”运算规定在形式上具有一致性，也就是说

命题p、q与“且”跟集合P、Q与“交”有对应关系。

【复习】集合P、Q与“并”

P

Q

P∪Q

Venn图表示为（作图）

aP

aQ

a∈P

a∈Q

a∈Q

aP

a∈P

aQ

【探究二】命题p、q与“或”对应集合P、Q与“并”

【例2】

命题p: 2不是偶数

命题q: 2不是素数 命题p∨q：_______________________________是_____命题（真、假）

由集合的“并”运算可以知道：

偶数

素数

由２｛偶数｝，２｛素数｝，

可以得到_______________________________

2 如果把“假”对应于“”，“或”对应于“并”，“２不是偶数是假命题”可以对应于“２｛偶数｝”，“２不是质数是假命题”可以对应于“２｛素数｝”，“２不是偶数或不是质数是假命题”就可以对应于“２｛偶数｝∪｛素数｝”.

【例2】变式1 命题p: 2是偶数

命题q: 2是素数 命题p∨q：_______________________________是_____命题（真、假）

偶数

素数

由集合的“并”运算可以知道：

2 由２∈｛偶数｝，２∈｛素数｝，

可以得到_______________________________

如果把“真”对应于“∈”，“或”对应于“并”，那么，“２是偶数是真命题”可以对应于“２∈｛偶数｝”，“２是素数是真命题”可以对应于“２∈｛素数｝”，“２是偶数或是素数是真命题”就可以对应于“２∈｛偶数｝∪｛素数｝”. 【例2】变式2：

命题p: 2不是偶数

命题q: 2是素数 命题p∨q：_______________________________是_____命题（真、假）

偶数

素数

由集合的“并”运算可以知道：

2 由２｛偶数｝，２∈｛素数｝，

可以得到_______________________________ 那么，“２不是偶数是假命题”可以对应于“２｛偶数｝”，“２是素数是真命题”可以对应于“２∈｛素数｝”，“２不是偶数或是素数是真命题”就可以对应于“２∈｛偶数｝∪｛素数｝”.

【例2】变式3：

命题p: 2是偶数

命题q: 2不是素数 命题p∨q：_______________________________是_____命题（真、假）

偶数

素数

由集合的“并”运算可以知道：

2 由２∈｛偶数｝，２｛素数｝，

可以得到_______________________________ “２是偶数是真命题”可以对应于“２∈｛偶数｝”，“２不是质数是假命题”可以对应于“２｛素数｝”，“２是偶数且不是质数是假命题”就可以对应于“２∈｛偶数｝∪｛素数｝”.

对于逻辑联结词“或”有：

（i）如果p，q都是假命题，则p∨q是假命题；

（ii）p，q中有一个是真命题，则p ∨

q是真命题；

对于集合的“并”有：

(i)若aＰ，aQ，则aP∪Q；

(ii)若a∈P或a∈Q，则a∈

P∪Q.

结论：通过探究，“或”与“并”运算规定在形式上也具有一致性，也就是说

命题p、q与“或”跟集合P、Q与“并”有对应关系。

【探究三】命题p的“非”对应集合P的“补”

【例3】

命题p：2是奇数。则﹁p：______________是_____命题（真、假）

用集合P的补集的形式则可以表示为______________。

以整数集为全集U，奇数集为P则偶数集为U下的补集

C

U

P

。

2

P

2∈

CUP

【结论】

通过探究，“非”与“补”U运算规定在形式上也具有一致性，也就是说命题pCP与﹁p跟集合P与有对应关系。

从前面讨论可以发现，命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词与集合的运算具有一致性，命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并”“补”，因此，我们就可以从集合角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

【学以致用】

【练习】

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；

命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙有且只有一个是真命题；

【小结】 1．理解“且”“或”“非”与集合的“交”“并”“补”之间的关系．建立命题“运算”和集合运算的关系，有利于从集合的角度进一步认识有关逻辑联结词的意义．

2．逻辑联结词“或”“且”“非”的意义与日常生活中的“或”“且”“非”的含义不同，应注意其区别.

【课后思考】

【作业】

已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，命题q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根？

（1）当m为何值时，p或q为真？

（2）当m为何值时，p且q为真？