阅读与思考 集合中元素的个数教学目标设计

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课时跟踪检测（一）

集

合

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

1．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(

) A．(1,2)

C．(－2,1)

B．(1,2] D．[－2,1) 解析：选D

由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选B

A，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B. 33．已知集合A＝xx∈Z，且2－x∈Z，则集合A中的元素个数为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 解析：选C

∵3∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x的值分别为2－x5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4. 4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(

) A．3

C．8

B．6 D．10 解析：选D

由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，所以集合B有10个元素．

5．已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(

) A．AB

C．A⊆B

B．BA

D．B＝A

解析：选B

因为A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故选B. 6．已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1＜22x＜4}，若A∩B＝{1,2m}，则实数m的取值范－围是(

) 10，

A.21，1

B.2

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110，∪，1

C.22－D．(0,1) 解析：选C

因为B＝{x|1＜22x＜4}，所以B＝{x|0＜2－x＜2}，所以B＝{x|0＜x＜2}．在数轴上画出集合B，集合A∩B，如图1或图2所示，

11从图中可知，0＜2m＜1或1＜2m＜2，解得0＜m＜或＜m＜1，所以实数m的取值22110，∪，1.故选C. 范围是227．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________. 解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．

答案：{－1,0} 8．设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围是________．

22－a＜1，解析：由题意得

23－a≥1，

1＜a＜3，即所以1＜a≤2. a≤2或a≥4，

答案：(1,2] 9．设A，B为两个集合，下列四个命题：

①A

③AB⇔对任意x∈A，有x∉B；②AB⇔BA；④AB⇔A∩B＝∅；

B⇔存在x∈A，使得x∉B. 其中真命题的序号是________．

解析：如果对任意x∈A，有x∈B，则A⊆B，若A中至少有一个元素不在B中，即存在x∈A，使得x∉B，则A不是B的子集．所以④是真命题．

答案：④

10．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．

解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，

即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，

由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，

则a＞4.

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答案：(4，＋∞) B级——中档题目练通抓牢

1．(2018·湘中名校高三联考)已知集合A＝{x|x2－11x－12＜0}，B＝{x|x＝2(3n＋1)，n∈Z}，则A∩B等于(

) A．{2}

C．{4,10}

B．{2,8} D．{2,8,10} 解析：选B

因为集合A＝{x|x2－11x－12＜0}＝{x|－1＜x＜12}，集合B为被6整除余数为2的数．又集合A中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A∩B＝{2,8}，故选B. 2．(2018·河北衡水中学月考)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝(

) A．[0,1]∪(2，＋∞)

C．[0,1]

B．[0,1)∪[2，＋∞) D．[0,2]

解析：选A

由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，

所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，

所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．

3．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(

) A．mn

C．n－m

B．m＋n

D．m－n

解析：选D

因为(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．

4．(2018·贵阳监测)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：

①若a1∈A，则a2∈A；

②若a3∉A，则a2∉A；

③若a3∈A，则a4∉A. 则集合A＝________.(用列举法表示) 解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．

答案：{a2，a3} 5．已知集合A＝{x|－1

解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A. 当m>0时，∵A＝{x|－1

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当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，

－m≥－1，∴m≤3，－m

∴0

答案：(－∞，1] 6．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2

(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；

(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2

易知∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，

所以A∪(∁UB)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．

(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，

易知2

7．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．

(1)求实数a，b，c的值．

(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z. 解：(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，

所以32＋c×3＋15＝0，解得c＝－8，

所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．

又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，

所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，

所以a＝6，b＝9. (2)不等式ax2＋bx＋c≤7，即为6x2＋9x－8≤7，

5所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1，

25－≤x≤1，

所以P＝x2

所以P∩Z＝{－2，－1,0,1}．

C级——重难题目自主选做

1．对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知非空集合

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M＝{x|a＜x＜b}，N＝{x|c＜x＜d}，其中a，b，c，d满足a＋b＝c＋d，ab＜cd＜0，则M⊕N＝(

) A．(a，d)∪(b，c)

C．(c，a)∪[b，d)

B．(c，a)∪(d，b) D．(a，c]∪[d，b) 解析：选D

由M＝{x|a＜x＜b}，得a＜b.又ab＜0，∴a＜0＜b.同理可得c＜0＜d，由a－cd－bd－badab＜cd＜0，c＜0，b＞0可得＞，∴＞.又∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，∴cbcbcd－b＞，∵c＜0，b＞0，∴d－b＜0，因此a－c＜0，∴a＜c＜0＜d＜b，∴M∩N＝N，∴Mb⊕N＝{x|a＜x≤c或d≤x＜b}＝(a，c]∪[d，b)．故选D. 2．已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．

(1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；

(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．

解析：(1)依题意设k＝10a＋b(a∈N*，b∈N)，则a＋b＝2，又a∈N*，b∈N，则a＝2，b＝0，故k＝20；(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，“衍生质数”为5的合数有14,32,50，“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A有7个元素，集合B有23个元素，故集合A∪B中有30个元素．

答案：20

30