2.2.1 函数的单调性特级教师教学实录

苏教版高中数学必修1

※2.2.1

函数的单调性

第1课时

函数的单调性

【学习目标】

1．理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点) 2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点) 3．会求函数的单调区间．(重点、难点)

教材整理1

单调性的定义

阅读教材P37，完成下列问题．

1．定义

一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，区间I⊆A. 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f (x2)，那么就说y＝f (x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f (x)的单调减区间．

2．函数单调性与单调区间

如果函数y＝f (x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f (x)在区间I上具有单调性．

单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

1．判断(正确的打“√”

，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(

) (2)若函数y＝f (x)在定义域上有f (1)＜f (2)，则函数y＝f (x)是增函数．(

) (3)若函数f (x)在实数集R上是增函数，则有f (1)＜f (4)．(

) (4)若函数y＝f (x)在区间[1,3]上是减函数，则函数f (x)的单调区间是[1,3]．(

)

2．下列说法正确的是________．(填序号) ①定义在(a，b)上的函数f (x)，若存在x1

②定义在(a，b)上的函数f (x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1

那么f (x)在(a，b)上为增函数；

③若f (x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f (x)在I1∪I2上也一定为增函数；

④若f (x)在区间I上为增函数，且f (x1)

教材整理2

单调性的判断

阅读教材P38例1、例2，完成下列问题．

判断单调性的常用方法是图象法、定义法．

根据下列函数的图象，说明函数的单调性．

(1)一次函数y＝kx＋b，当k>0时，函数在R上单调递______，当k<0时，函数在R上单调递______ k(2)反比例函数y＝，当k>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递______，

x当k<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递______．

b－b，＋∞上单调递______，－∞，－上单调递______，(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a>0时，函数在在

2a2abb－∞，－上单调递______，在－，＋∞上单调递____

．

当a<0时，函数在2a2a

1

利用函数图象求单调区间

作出下列函数的图象，并写出单调区间．

x－22，x≥0，2(1)y＝x2－4；(2)y＝－；(3)f (x)＝

xx＋4，x<0.

【精彩点拨】

在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．

【自主解答】

1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．

2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．

[再练一题] 1．函数f (x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单调递增区间为________

函数单调性的判断与证明

x＋2用定义证明函数f (x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．

x＋1【精彩点拨】解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．

【自主解答】

用定义证明(判断)函数单调性的步骤

2

[再练一题] x2＋12．证明函数f (x)＝在(1，＋∞)上单调递增．

x

[探究共研型]

单调性的应用

探究1

如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？

【提示】先判断函数f (x)在区间D上的单调性，如果函数f (x)在D上是增函数，

当x1

探究2

如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？

【提示】能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f 符号，

转化为自变量的大小关系．

已知函数f (x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x－2)

根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域．

【自主解答】

1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f (x)在给定区间上是增函数，则当x1

f (x1)x2时，f (x1)>f (x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f (x)在给定区间上是增函数，

则当f (x1)f (x2)时，x1>x2.当y＝f (x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．

2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．

[再练一题] 3．已知f (x)在R上为减函数且f (2m)≥f (9－m)，则m的取值范围是_______

3

1．已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的单调减区间为________

2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是________ (1)f (x)＝－1x＋1；(2)f (x)＝x2－3x；(3)f (x)＝3－x；(4)f (x)＝－|x|.

3．若函数f (x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为_______

3x－5，x≥1，4．已知函数f (x)＝－2x，－1

则f (x)的单调增区间为______

5．已知函数f (x)＝x＋12x＋2，x∈[1，＋∞)．

(1)判断函数f (x)在区间[1，＋∞)上的单调性；(2)解不等式：f 2x－12＜f (x＋1008)．

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