阅读与思考 集合中元素的个数板书设计及意图

1.1.2 集合间的基本关系

教学目标

三维目标

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．

2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．

教学重点：理解集合间包含与相等的含义．

教学难点：理解空集的含义．

授课过程

导入新课

思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．

思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2____Q；(3)－1.5____R. 类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)

提出问题

(1)观察下面几个例子：

①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；

②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；

③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；

④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．

你能发现两个集合间有什么关系吗？

(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？

(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？

(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？

(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B. (6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．

(7)任何方程的解都能组成集合，那么x＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？

(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？

(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？

1 2

活动：教师从以下方面引导学生：

(1)观察两个集合间元素的特点．

(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A⊆B，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．

(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆. (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．

(6)分类讨论：当A⊆B时，A2B或A＝B. (7)方程x＋1＝0没有实数解．

(8)空集记为，并规定：空集是任何集合的子集，即⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠)．

(9)类比子集．

讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．

(2)例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．

(3)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．

(5)如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.

图1

图2 (6)如图3和图4所示．

图3

2

图4 (7)不能．因为方程x＋1＝0没有实数解．

(8)空集．

(9)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A2B，BC，则AC.

应用示例

思路1 例1 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．

(1)则下列包含关系哪些成立？

A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A. (2)试用Venn图表示集合A，B，C间的关系．

活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：

(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；

长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．

(2)根据集合A，B，C间的关系来画出Venn图．

解：(1)包含关系成立的有：A⊆B，A⊆C. (2)集合A，B，C间的关系用Venn图表示，如图5所示．

图5 变式训练

课本本节练习3. 点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．

判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有A即集合A，B互不包含. 例2 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．

3 B，且BA，

活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．

解：集合{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}．真子集为，{a}，{b}. 变式训练

已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是(

) A．4

B．3

C．2

D．1 解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有2＝4个，

又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．

答案：A 点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．

思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？

解：当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝2；当n＝1时，即含02有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝2；当n＝2时，1即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝2.…

集合A中含有n个元素，那么集合A有2个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2－1)个真子集. 思路2 例1 已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m}．若B⊆A，则实数m＝________. 活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m∈A.对m的值分类讨论．

解析：∵B⊆A，∴3∈A，m∈A.∴m＝－1(舍去)或m＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1. 答案：1 点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．

讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式. 变式训练

已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若N值范围．

分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于N22222222nnM，求实数a的取M，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．

解：由题意得M＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠.当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，1则a≠0，此时x＝，又∵NaM，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜.综上所得，aa2111

4

1实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜，即实数a的取值范围是21a0≤a<2

. 例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：，{a}，{a，b}，{a，b，c}．

(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？

活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．

解：(1)的子集有：，即有1个子集；

{a}的子集有：，{a}，即{a}有2个子集；

{a，b}的子集有：，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子集；

{a，b，c}的子集有：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．

(2)由(1)可得：当n＝0时，集合M有1＝2个子集；

当n＝1时，集合M有2＝2个子集；

当n＝2时，集合M有4＝2个子集；

当n＝3时，集合M有8＝2个子集；

因此含有n个元素的集合M有2个子集. 变式训练

已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有(

) n3210A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

解析：对集合A所含元素的个数分类讨论．

A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．

答案：D 点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M中含有n个元素，则集合M有2个子集，有2－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象. nn

知能训练

：课本本节练习1,2.

【补充练习】1．判断正误：

(1)空集没有子集．(

) (2)空集是任何一个集合的真子集．(

) (3)任一集合必有两个或两个以上的子集．(

) (4)若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.(

)

5

分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．

解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．

对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．

对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．

对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB. 2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．

分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2个，真子集有2－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．

解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，

即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．

真子集：，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．

3．(1)下列命题正确的是(

) A．无限集的真子集是有限集

B．任何一个集合必定有两个子集

C．自然数集是整数集的真子集

D．{1}是质数集的真子集

(2)以下五个式子中，错误的个数为(

) ①{1}∈{0,1,2}

②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2} ④∈{0,1,2}

⑤∈{0}

A．5

B．2

C．3

D．4 (3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是(

) A．annM B．aM

M

C．{a}∈M D．{a}解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D. (2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．

①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是⊆{0,1,2}，⑤应是⊆{0}．

故错误的有①④⑤.

(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，因3＜a＜4，故a是M的一个元素，

因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}答案：(1)C (2)C (3)D 4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：

(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；

(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．

解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，

故A，B都是由奇数构成的，即A＝B. (2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，

6 M.

在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．

故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有B点评：此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．

5．已知集合P＝{x|x＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足Q22A. P，求a所取的一切值．

P成立．又当a≠0时，1解：因P＝{x|x＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QQ＝{x|ax＋1＝0}＝－，要Qa1或a＝. 31P成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.综上所述，a＝0或a＝－aa2321111点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足Q2P. 26．已知集合A＝{x∈R|x－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x＋3x－4)＝0}，要使A的集合P. P⊆B，求满足条件解：A＝{x∈R|x－3x＋4＝0}＝，B＝{x∈R|(x＋1)(x＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，

22由AP⊆B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为

{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．

点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．

7．设A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B应具有何种关系？

解：因A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，

故x为，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B. 点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．

8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，

(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；

(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足B⊆A. m＋1≥－2，当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B⊆A成立，需2m－1≤5，

可得2≤m≤3.

综上所得实数m的取值范围为m≤3.

(2)当x∈Z时，A＝{－2，－ 1,0,1,2,3,4,5}，

∴A的非空真子集的个数为2－2＝254. (3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．

则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；

②若B≠，则要满足条件：综上有m＜2或m＞4.

7 m＋1≤2m－1，m＋1>58

m＋1≤2m－1，或2m－1<－2，

解之，得m＞4.

点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用．

拓展提升

问题：已知A⊆B，且A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？

活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．

思路1：写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；

思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．

解法1：因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共2＝32(个)．

又满足A⊆C的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共2＝16(个)．

其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个：，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．

解法2：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有2＝8(个)．

点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．

345课堂笔记

本节课学习了：

①子集、真子集、空集、Venn图等概念；

②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；

③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．

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