小结教学设计(第一课时)

高一数学必修1第一章知识点总结

一、集合

(一)集合有关概念

1、集合的含义：练习1：下列四组对象，能构成集合的是（ ） A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2、元素与集合的关系

(1)如果a是集合A的元素，则a属于A，记作a____A (2)如果a不是集合A的元素，则a不属于A，记作a_____A 3、常用数集

自然数集______，正整数集______，整数集______，有理数集______，实数集______。

练习2：用适当的符号填空

（1）5______N, （2）1___Q,____Q

2（3）3______x|x2,1,2____x,y|yx1

（4）25_______x|x24、集合的中元素的三个特性

(1) 元素的______ (2) 元素的______ (3) 元素的 ______ 练习3：若集合Ma,b,c中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

练习4：下面有四个命题：

（1）集合N中最小的数是1； （2）若a不属于N，则a属于N；

（3）若aN,bN,则ab的最小值为2；（4）x12x的解可表示为1,1；

23，

其中正确命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5、集合常用的表示方法：

1） _______：{a,b,c……}

2） ________：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x>2} ,{x| x-3>2} 3） __________：例：{不是直角三角形的三角形}； 4） Venn图

练习5：集合M={0，2，3，7}，P={x|x=ab，a、b∈M，a≠b}，用列举法表示，则P=___________. 练习6：

集合

{x|f(x)0}

{x|f(x)0}

{x|yf(x)}

1 {x,y）|yf(x)}

{y|yf(x)}

（

含义

练习7：已知集合AxN|8N，试用列举法表示集合A= ___ _ 6x练习8：方程组xy2的解集是（ ）

xy4（A） x3或1 （B）(3,1) （C）3,1 （D）(3,1)

(二)集合间的基本关系

1.“包含”关系：子集（AB）：

注：有两种可能：

B（A）

①

任何一个集合是它本身的子集，即：________ 2．“相等”关系：________ ，如图所示：

3．“真包含”关系：________，如图所示：

B（A）

练习10：能满足关系{a，b}M{a，b，c，d，e}的集合M的个数是

A．8个

B．6个

C．4个

D．3个

4.

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的_______，

空集是任何非空集合的_______。

练习11：下列四个集合中，是空集的是（ ）

A．{x|x33} B．{(x,y)|y2x2,x,yR}

C．{x|x0} D．{x|xx10,xR}

5.

若集合A有n个元素，则其子集的个数为_______，真子集个数_________。

练习12：写出集合｛0，1，2｝的所有子集： ___________________________ (三)集合的运算

1、交集，即AB=____________,请用Venn图表示：

2、并集，即AB=____________，请用Venn图表示：

3、补集，即CuA=_____________，请用Venn图表示：

2

22

练习13：若集合A={1，3，x}，且A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（ ） （A）3个 （B）2个 （C）1个

（D）4个

练习14：表示右图中阴影部分的集合是（ ） （A）A∪B

（B）A∩B （C）CU(AUB) （D）CU(AB)

练习15：已知集合Mx|1x2，Px|xt，若MP，则实数t应满足的条件是

4、相关的运算性质：

交集

并集

补集

常用重要结论

(1)AA=_____;(2)A______(3)AB_____A; (4)AB_____B

(1)AA____A;(2)A_____；(3)A____AB;(4)Ｂ＿＿ＡＢ　

(1)A(CuA)______;(2)A（CuA）______

(1)若AB，BC,则A____C(2)ABA______;ABA________

练习16：某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 _____________人。

练习17：全集UR，集合A={y|y3x2且2x1}，B={y|2y4y2}。

（1）求CU(AB)；

（2）若集合C{y|2ya0},满足BCC，求实数a的取值范围。

二、函数的有关概念

1、函数的概念：设A、B是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，_____________叫做函数的定义域；____________叫做函数值，____________叫做函数的值域．

函数的三要素：_________、__________、____________ 练习18：

设M{x|2x2}，N{y|0y2}，给出下列4个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系是

（ ）

3

练习19：设一个函数的解析式f(x)2x1，若它的值域为1,2,3，则该函数的定义域为 2、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母0； (2)偶次方根的被开方数0；

(3)对数式的真数必须>0；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1; (6)式子a中，a0

；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义

2练习20：已知函数f(x)1x0x21的定义域是 （ ）

（C）（－1，1）

（D）(,1][1,)

（A）[－1，1] （B）{－1，1} 练习21：已知函数f(x)11x1x)的定义域为N，则的定义域为M，g(x)ln(MN（ ）

A.xx1

B.xx1

C.x1x1

D. 时，函数的值域为 ，3,3]练习22：函数f(x)x24x1的值域是 ；当x[1,2]函数的最大值为 ，最小值为 ；当x(3、相同函数的判断方法：

时，函数的值域为 。

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 练习23：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

22y|x|,yxyx2x2,yx4 A. B.x3y1,y3y|x|,y(x)2

x D.C.4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是__________，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有________的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B

练习24：下列集合A到集合B的对应f是映射的是 ( ) 4

A.AR,BN*,f:x|x|B.A{0,1},B{1,0,1},f:xx

1C.AZ,BQ,f:xxD.A｛1,0,1｝,B{1,0,1},f:xx2练习25：已知点(x,y)在对应关系f作用下对应的元素是(x2y,2xy)，则(3,1)在f作用下对应的元素是 . 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

练习26：已知函数f(x)三、函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当_______时，都有_______，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间。

（2）减函数：如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当______时，都有_______，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。

2练习27：函数f(x)mx4x1，在(,2)内递减，在(2,)内递增，则f(1)的值x2,x1x,x12，则f[f(2)]＝ ；若f(x)0，则x 为( ) A．

3 B．

3 C．

2 D．2

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

2、函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

（注意x的取值范围）

○2 利用图象求函数的最大（小）值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有__________；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有__________；

练习28：在直角坐标平面内,二次函数f(x)图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0) （1）求f(x)的函数解析式；（2）求f(x)在(0,4]上的最值；

5

（3）求f(x)在[a,a2](a1)上的最值；

练习29：设a1，函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为（ ）

A．2 B．2 C．22 D．4 （3）

图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是_______，减函数的图象从左到右是________。

3、函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法（即用定义法证明单调性）：

○1 _____________；○2 ______________（通常是因式分解和配方）；

○3 _______________；○4 _______________；

(B)图象法(从图象上看升降) 注意：单调区间不能随便并起来。

练习31：求函数f(x)1，则a2x在区间[2,5]上的最大值和最小值。

x14、函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有________，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做奇函数．

练习32：函数y|x|1x2是( ) A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数，又是偶函数 D、既不是奇函数，也不是偶函数

练习33：下列结论中：不正确的个数是（ ）

（1）若函数f(x)中，f(0)f(5),则f(x)在[0,5]上是增函数；

（2）若函数f(x)在[-1,1]和(1,3]上是减函数，则f(x)在[-1,3]上是减函数；（3）定义在R上的函数f(x)满足f(x)1,则f(x)是偶函数；

f(x)

（4）函数f(x)在[-1,1]上满足:f(1)f(1),则f(x)是奇函数；

（5）若函数f(x)在[-2，3]上有f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数。A 1 B. 2 C 3 D 4 （3）奇偶函数的性质:偶函数的图象关于______对称；奇函数的图象关于_______对称．

奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_________ 6

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_________ 若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=________ 练习34：奇函数f(x)在区间[a,b]

上为减函数，且有最小值2，则它在区间[b,a]上（

）

A．是减函数，有最大值2 B．是增函数，有最大值2

C．是减函数，有最小值2 D．是增函数，有最小值2

练习35：f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)f(x),x[0,1]时，则f()（ ） A. f(x)x1，3233 B. C.0 D.1 22nn1P(x)axaxnn1（4）多项式函数a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 练习36：设f(x)ax3bx1，且f(2)0，求f(2)的值 5、函数奇偶性的判定方法

（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1_______________________；○2___________________________；

○3____________________________；

（2）利用定理，或借助函数的图象判定

6、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法：练习37：已知f(x1)x4x1,求f(x)的解析式。

2)

待定系数法：练习38：已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=0,,f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x)的解析式。

3)

换元法：练习39：已知f(x1)x2x,求f(x）。

x4) 利用奇偶性：练习40：已知定义域为R的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)e3x；2则当x0时f(x)= . 易错点：

1、属于跟包含的关系：

属于是指_______与_________的关系；包含是指_______与_________的关系

练习41：在以下五个写法中：

①{0}{0,1,2}； ②

φ{0}； ③ {0,1,2}{1,2,0}；

④ 0φ； ⑤ 0∩φ=φ，写法正确的个数有（

）

7

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 4个

2、在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况：

练习42：设A={－4，1}，B={x|tx30},ABA,则t的值为_________ 练习43：已知集合A={x|2a－1≤x≤a+3}，B={x| x<－1或x5}，若A∩B＝Φ，求a的取值范围。 3、描述法表示的集合的含义：

练习44：已知集合M={y|y=x6x7}，N={x|y=x1}，则集合M与N的关系是________ 练习45：设x=系是（ ）

211,y=-3,A={x|x=m-n3,mZ，nZ}，那么x,y与集合A的关223A.xA,yA B.xA,yA C.xA,yA D.xA,yA

4、集合的“交”“并”“补”运算中，端点是否可取问题：

Bx2x9，练习46：已知集合A=x1x6，（1）分别求CR(AB)，(CRB)（2）已知Cxaxa1，若CBB，求实数a的取值.

5、求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则．

 A；练习47：定义在（-1，1）上的奇函数f(x)是减函数，且f(1a)f(12a)0,求a的取值范围。

6、判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．

练习48：判断函数的奇偶性:f(x)12x2x1

7、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.) 练习49：证明：函数f(x)

8、单调区间是否可并

练习50：函数y1在(,1)上为增函数．

2(x1)1的单调递增区间为_______________ x练习51：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x2)

（1）求函数f(x)的解析式，

（2）求函数f(x)的增区间和减区间. 8