信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆公开课教案

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

教学目标：

1.通过动手计算教材例题，了解点的轨迹为椭圆所满足的条件。

2.通过几何画板演示，直观感知椭圆轨迹的形成过程，抽象概括出图像的本质，即动点轨迹为椭圆所满足的条件。

3.对得出的猜想给予证明，体会归纳推理思想，落实逻辑推理核心素养。

教学重点：

通过几何画板操作，直观感知动态图像，从纷繁复杂的动态图像中抽象概括出动点轨迹为椭圆的本质，即动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比是定值。

教学难点：

在几何画板演示里，能够分析出动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比是定值e，这与动点运动的位置无关。

教学过程：

一、问题引入

人教版选修2-1第47页例6：

已知动点M（x,y）到定点F(3,0)的距离与到定直线x的距离之比等于,求动点M的轨迹.

解：

由题意知：动点M的轨迹就是集合P{M||MF|=4},

d525

445

由此得，(x4)24化简得x2y2=1259255。

|x|4所以，点M的轨迹为椭圆。

问1:椭圆的焦点坐标、离心率、直线l的方程分别是什么？

问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？

设计思路：

1.数学运算是数学核心素养之一，运算能力是数学学习的基础，在教学中要引起相当的重视，在这里要留给学生足够的时间去思考、计算，这也是学生理解问题的一种方式。

2.通过问1，引发学生将实例中所给的数据与椭圆中的a,b,c及离心率e产生对应，为问2提供了铺垫，通过问题，引导学生思维一步步向前推进，猜想结论的过程水到渠成。

二、猜想结论

a2结论：

若动点M(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线l：x=c 的距离的比是常数e=

ca(0

d

H三、直观感知

1.课堂上利用几何画板直观展示椭圆的点的轨迹的形成过程，通过改变e的大小，让学生感知e影响的只是椭圆的扁平程度，将e设定在（0,1）内，几何画板跟踪的点的轨迹始终是椭圆。

透过现象看本质，请同学们思考，轨迹上的点A在不断地运动之中，这些运动着的点有什么不变属性呢？

通过大家的讨论、分析以后，我们由动态图像得出一个不变的量，就AF是尽管AF、AG(点A到定直线l的距离)值在不断的变化，但是AG的值是一个定值，就是我们设定的e的值。

设计意图：利用图形理解数学问题是直观想象的表现之一，直观想象是高中数学学科的一个重要的核心素养之一。

1.

通过几何画板直观演示，学生能够非常自然地接受点A的轨迹是椭圆这一事实，即眼见为实。

2.同时，通过几何画板里面各个量的不断改变，通过不断地师生合作，生生合作，不断地启发、引导，使得学生一步步地理解了问题的本质，即AF的值是一个定值，才是点A的轨迹为椭圆的根本所在。

AG四、证明结论

证明：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合(xc)2y2MFcPM|da，由此得a2xcca．

将上式两边平方，并化简得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)．

x2y2设acb，就可化成221(ab0)．

ab222这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆．

设计意图：前面通过几何画板得出的图形，我们称之为椭圆的原因有二，其一是前面有个已经证明过的具体例题，其动点满足的条件和后来的几何画板中动点满足的条件是一样的，其二是我们的一种直观感觉，认为其就是椭圆。但是，数学是严谨的，几何画板中的动点轨迹问题比前面的例6更具一般性，我们不能通过一个特例是正确的，就说明更一般性的猜想也是正确的，同样地，任何直观感知的猜想的结论，也都要经过严格的逻辑证明以后，才能认为是正确的。

五、巩固练习

人教版选修2-1第50页练习题B组第3题

已知动点M到定点F(2,0)的距离与到定直线x8的距离之比

等于1:2 ,求动点M的轨迹. 师：请同学们依据前面所学知识，抓住问题本质，能否直接给出点M的轨迹方程？

设计意图：由于前面直观感知、逻辑验证，都说明了点的轨迹是椭圆，所以，在这里，我们可以进一步强化一下，让学生抓住椭圆轨迹的本质特点，把握a,b,c及e在问题中的呈现形式。

六、课堂小结

用几何画板探究点的轨迹：椭圆

知识归纳：

1. 对一个特殊轨迹问题进行分析、理解、归纳整理；

2. 猜想（归纳）出一个更一般性的结论；

3.通过几何画板操作，直观感知动态图像，抽象概括出图像的本质，即文字定义

；

4.检验（证明）猜想。

思想方法归纳: 上面的过程即归纳推理的过程，归纳推理是发现新知，探索未知世界的重要工具。

七、课后思考

在几何画板演示里，如果我们分别设定e的值等于1和大于1，那么所跟踪的交点的轨迹是什么？请同学们课下尝试做一做。

设计意图：

1.

我们不仅要知道椭圆的轨迹形成过程，还应注意到椭圆与双曲线，抛物线的关系，不能割裂它们同为圆锥曲线的共性关系，应启发学生研究它们的共性。

2.

学生有之前的几何画板演示，再通过课下查阅资料，自主学习，是有能力完成这项作业的，这为后面双曲线，抛物线的学习奠定了基础。