习题1.2公开课教案

《函数的单调性》教学设计

授课教师：

陈自娟

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一、教学目标

（一）学习目标

1. 能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）. 2. 通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力． 3. 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

（二）目标解析

1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.对于一个简单的函数能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数. 2．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括函数单调性的概念．

3．通过对函数单调性定义的探究，经历观察、分析、探究、归纳的认知过程，将函数图象的“上升”或“下降”这一特征能用该区间上“任意的x1x2，都有f(x1)f(x2)”的数学语言进行刻画.从函数f(x)x2入手归纳函数单调性定义推广

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到一般函数的单调性定义.培养良好的思维品质，提高思维能力．

二、教学重难点：

教学重点：函数单调性的应用和相关题型的证明。

教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数单调性。

三、教学过程

（一）创设情境，引入新知

我们知道，函数是研究事物运动变化规律的模型，生活中就有许多运动变化的现象是我们经常关注的，如某日天津24小时的温度曲线．

323130292827262524T(°C)

O123456789101112131415161718192021222324t(h)问题1：观察图形，随着时间的推移，温度随之发生什么变化/你能得到什么信息？

师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充． 【设计意图】学生通过观察某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识．

（二）观察探究，形成新知

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问题2：观察函数fxx，f(x)x2的图象随自变量x的增大，是如何变化的？

学生获取函数fxx2的图象升降特点后，教师以函数f(x)x2为例，初步认识函数单调性：

函数f(x)x2的图象在y轴左侧随着自变量x增大而下降，我们说函数f(x)x2在区间-，0上是减函数；在y轴右侧随着自变量x增大上而升，就说函数f(x)x2在区间0，+上是增函数．

师生活动：教师引导，学生观察图象从左至右的变化情况，并回答问题．

【设计意图】通过函数的图象直观感知函数的单调性，初步认识函数单调性定义．

探究一：用数学符号语言定义增函数．

问题3：

①函数fxx2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”？

②观察表格，y轴右侧自变量值与对应的函数值的变化规律是怎样的？

教师提出问题①后，组织学生填写表格，观察图表

x

yx2

…

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

．．．

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师生活动：学生观察函数fxx2图象在y轴右侧是上升的，提出函数fxx2在区间0,上y随x的增大而增大，在教师的帮助下，借助几何画板软件加以验证．

【设计意图】观察函数fxx2的图象，用“在0，+

y随，进一步x的增大而增大”描述“图象在y轴右侧是上升的”认识函数的单调性，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到数学语言的表述． 问题4：如何用数学符号语言描述函数fxx2在0，+

y随x的增大而增大？

师生活动：学生在教师的引导下，总结：

函数fxx2，在区间0,上任取x1,x2值，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)．就能说明函数fxx2在区间0,上y随x的增大而增大；函数fxx2是增函数. 引导学生观察图象，进行验证，并通过作差比较，对函数fxx2在区间0,上

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，给予证明．

经历上述观察、猜想、分析、验证、证明的过程，得到结论：

函数fxx2定义域为R，在0，+上任意的x1,x2的值，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)．我们就说函数f(x)x2在区间0,上是增函数. 【设计意图】结合图、表，学生在教师的引导，结合其

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初中的认知基础，学生在教师的引导下，用数学符号语言“函数fxx2，在区间0,上任取两个x1,x2，当x1x2时，有，学生经历从f(x1)f(x2)”来描述“fx随着x的增大而增大”直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程．

问题5：对于一般的函数yfx定义域为I，在区间D上，我们应当如何给增函数下定义？

引导学生给增函数下定义：

一般地，设函数fx的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

师生活动：学生思考、发言，教师补充、板书． 【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．

问题6：类比增函数的定义，对于一般的函数yfx，我们应当如何给减函数下定义？

教师引导学生通过类比、观察、验证、交流后，得出减函数定义

师生活动：小组讨论，代表发言交流． 【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比能力．

练习1：判断下列说法是否正确，说明理由：

（1）某地0点温度高于1点半的温度，1点半的温度高于5点的温度，则该地0点至5点温度一直在下降.

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（2）对于函数yfx在其定义域0，+内有无穷多个值a1,a2,a3，满足fa1fa2fa3，则函数yfx在其定义域内是增函数. （3）对于区间0，+上的任意x有f(x)则函数f(x)在f(0)，区间0，+上单调递增．若不正确，请画图说明理由. 师生活动：学生回答练习（1）后教师通过本节课开始的“某日天津24小时的温度曲线”作为反例进行说明，练习（2）（3）学生通过作图展示说明．

【设计意图】通过辨析，学生进一步体验到定义中的两个自变量应该“任意”选取．

（三）巩固提高，应用新知

例1 下图是定义在区间5,5上的函数yfx，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

7 y3y=f(x)

21–5–4–3–2–1O–1–212345x

师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：

单调区间是定义域的子集；

【设计意图】学生能够通过函数图象说出函数的单调区间，加深对函数单调性概念的理解．

例2：物理学中的玻意耳定律pk(k为正常数)告诉我V们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．

师生活动：帮助学生分析例2，引导学生将物理问题转化为数学问题，解题过程由学生思考陈述，教师板书证明过程，师生共同总结用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

【设计意图】利用单调性证明物理学中的玻意耳定律，学生感受到函数单调性的初步应用；教师引导下，学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．

探究二：反比例函数y1的单调性

x问题7：

①画出反比例函数y1的图象，并说出函数的定义域I是x什么？

②它在定义域I上的单调性是怎样的？

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③证明你的结论．

师生活动：学生讨论，代表发言，提出猜想，证明猜想．

【设计意图】学生体会：通过数形结合思想的运用，观察图象，先对函数是否具有某种性质进行猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法．

（四）归纳反思，深化新知

问题8：通过本节课学习，你有哪些收获？

师生活动：学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．

【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．

（五）布置作业：

（1）基础达标：

①教材中练习的第1、2题；

②求证：函数fxx2在区间,0上是减函数．

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