1.1 集合的含义及其表示优秀教案设计

高三数学（理科）一轮复习教学案

第一章

集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语

考试内容

集合及其表示

子集

交集、并集、补集

命题的四种形式

充分条件、必要条件、充要条件

简单的逻辑联结词

全称量词与存在量词

等级要求

A B B A B A A §1.1

集合及其运算

【知识梳理】

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：

、

、

. (2)元素与集合的关系是

或

，用符号

或

表示．

(3)集合的表示法：

、

、

. (4)常见数集的记法

集合

符号

2．集合间的基本关系

关系

子集

自然语言

集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B)

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

符号语言

真子集

集合相等

3．集合的基本运算

运算

交集

自然语言

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合

符号语言

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}

第1页

自然数集

N

正整数集

N*(或N＋)

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

Venn图

Venn图

并集

补集

§1.1

集合及其运算

4．常见结论：

（1）若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为

，真子集的个数为

. （2）A⊆B⇔A∩B＝

⇔A∪B＝

. （3）A∩(∁UA)＝

；A∪(∁UA)＝

；∁U(∁UA)＝

.

【典例共析】

题型一

集合的含义

例题1．（1）若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________. （2）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________．

题型二

集合的基本关系

例题2．

(1)(2017·徐州模拟)已知集合A＝{－1,1,2}，B＝{0,1,2,7}，则集合A∪B中元素的个数为

．

2

(2)已知集合A＝{x|x－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x

．

变式：本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是

．

题型三

集合的基本运算

例题3．

(1)设全集U＝R，A＝{x|2x－10≥0}，B＝{x|x2－5x≤0，且x≠5}．

求：①∁U(A∪B)；

②(∁UA)∩(∁UB)．

(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，且A∩B＝{－3}，求A∪B.

第2页

高三数学（理科）一轮复习教学案

第一章

集合与常用逻辑用语

例题4．(1)已知q≠0，集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}．

11①当t∈A时，求证：∈B；

②当A∪B＝2，1，2时，求p，q的值．

t(2)已知集合A＝xy＝

2x＋1，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]<0}．分别根据下列条件，1－x＋1

求实数a的取值范围：

①A∩B＝A；

②A∩B≠.

题型四

集合的新定义问题

例题5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A

B中元素的个数为________．

B【当堂巩固】

1．下列结论中，正确的序号是

．

(1)任何一个集合都至少有两个子集．

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．

(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.

(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．

(5){x|x≤1}＝{t|t≤1}．

(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C. 2．[P18复习T3]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________. 第3页

§1.1

集合及其运算

3．[P13练习T5]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．

5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 7．(2015·江苏)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

33，2，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围8．已知集合A＝yy＝x2－2x＋1，x∈4

是

．

9．(2014·江苏)已知集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，则A∩B＝________. 10．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

11．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝________.

【当堂小结】

1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

3．一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

4．运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

5．解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

第4页

自我体会与感悟

高三数学（理科）一轮复习教学案

第一章

集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语

考试内容

集合及其表示

子集

交集、并集、补集

命题的四种形式

充分条件、必要条件、充要条件

简单的逻辑联结词

全称量词与存在量词

等级要求

A B B A B A A §1.1

集合及其运算

【知识梳理】

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法

集合

符号

2．集合间的基本关系

关系

子集

自然语言

集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B)

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

符号语言

A⊆B(或B⊇A)

真子集

集合相等

3．集合的基本运算

运算

交集

自然语言

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合

符号语言

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}

第5页

自然数集

N

正整数集

N*(或N＋)

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

Venn图

AB(或BA)

A＝B

Venn图

并集

补集

§1.1

集合及其运算

4．常见结论：

（1）若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. （2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. （3）A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.

【典例共析】

题型一

集合的含义

例题1．（1）若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________. （2）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________．

解析：（1）答案

0或1 解析

若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；

若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；

若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；

当a＝－1时，集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不符合题意．

综上可知，a＝0或a＝1. （2）答案

8 当a＝0时，a＋b＝1,2,6；

当a＝2时，a＋b＝3,4,8；当a＝5时，a＋b＝6,7,11. 由集合中元素的互异性，知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素．

题型二

集合的基本关系

例题2．

(1)(2017·徐州模拟)已知集合A＝{－1,1,2}，B＝{0,1,2,7}，则集合A∪B中元素的个数为

．

2

(2)已知集合A＝{x|x－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x

．

解析：（1）答案

5 A∪B＝{－1,0,1,2,7}，∴A∪B中元素个数为5. （2）答案

[2 018，＋∞) 解析

由x2－2 019x＋2 018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

变式：本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是

．

解析：答案

(－∞，1] A＝{x|1

题型三

集合的基本运算

例题3．

(1)设全集U＝R，A＝{x|2x－10≥0}，B＝{x|x2－5x≤0，且x≠5}．

求：①∁U(A∪B)；

②(∁UA)∩(∁UB)．

(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，且A∩B＝{－3}，求A∪B. 解析：（1）①A＝{x|x≥5}，B＝{x|0≤x<5}，

则A∪B＝{x|x≥0}，于是∁U(A∪B)＝{x|x<0}．

②∁UA＝{x|x<5}，∁UB＝{x|x<0或x≥5}，

于是(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<0}．

（2）由A∩B＝{－3}知－3∈B. 又a2＋1≥1，故有a－3＝－3或a－2＝－3. ①当a－3＝－3时，a＝0，

此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}．

由于A∩B≠{－3}，故a＝0舍去．

②当a－2＝－3时，a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}．

第6页

高三数学（理科）一轮复习教学案

第一章

集合与常用逻辑用语

满足A∩B＝{－3}，

从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．

例题4．(1)已知q≠0，集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}．

11①当t∈A时，求证：∈B；

②当A∪B＝2，1，2时，求p，q的值．

t(2)已知集合A＝xy＝

2x＋1，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]<0}．分别根据下列条件，1－x＋1

求实数a的取值范围：

①A∩B＝A；

②A∩B≠. 解析：（1）①证明

因为t∈A，所以t2＋pt＋q＝0. 12t2＋pt＋q1由q≠0知t≠0，从而qt＋p·＋1＝＝0，

tt21即∈B. t②由①可知，集合A与B中的相应元素互为倒数，

11故由A∪B＝2，1，2，知A＝2，1或A＝{1,2}．

11131当A＝2，1时，＋1＝－p且×1＝q，得p＝－，q＝；

2222当A＝{1,2}时，同理可得p＝－3，q＝2. 31综上，p＝－，q＝或p＝－3，q＝2. 222x＋1x（2）由1－≥0，得≤0，解得－1

x＋1x＋1a＋1≤－1，①A∩B＝A，即A⊆B，故得－4

a＋4>0，

故a的取值范围是(－4，－2]．

a＋4>－1，②若A∩B≠∅，则得－5

a＋1<0，故a的取值范围是(－5，－1)．

题型四

集合的新定义问题

例题5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A解析：（1）答案

45 B中元素的个数为________．

B如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45. 【当堂巩固】

1．下列结论中，正确的序号是

(4)

(5)

．

(1)任何一个集合都至少有两个子集．

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．

(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.

(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．

(5){x|x≤1}＝{t|t≤1}．

(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C. 第7页

§1.1

集合及其运算

2．[P18复习T3]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝_{x|x是直角}. 3．[P13练习T5]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为__2__．

4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为__3____．

5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

96．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝_0或__. 87．(2015·江苏)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为___5__．

33，2，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是

8．已知集合A＝yy＝x2－2x＋1，x∈4

－∞，－3∪3，＋∞

．

449．(2014·江苏)已知集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，则A∩B＝__{－1,3}_. 10．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

11．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝__{x|3≤x≤4}_.

【当堂小结】

1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

3．一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

4．运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

5．解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

第8页

自我体会与感悟