1.3 交集、并集特级教师教学实录

教案

交集并集（二）

教学目标：进一步理解交集与并集的概念；熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；掌握集合的交、并的性质；掌握有关集合的术语和符号，并会用它们表示一些简单的集合

教学重点：集合的交、并的性质

教学难点：集合的交、并的性质

课

型：新授课

教学手段：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境

1．复习引入：

（1）交集的定义

AB=｛x|xA，且xB｝

（2）并集的定义

AB ={x|xA，或xB} 2．由上节课学习的交集、并集定义，下面几个式子结果应是什么？

A∩A=

A∩=

A∩B=

B∩A A∪A=

A∪

=

A∪B=

B∪A 二、活动尝试

问题1：给出五个图，集合A、B之间的关系如图所示，请同学们分析AB和AB的结果

(1)若AB,则AB=A，AB=B

(2)若AB则AB=A，AB=A

(3)若A=B, 则AA=A，AA=A

(4)若A,B相交，有公共元素，但不包含，则AB (5) )若A,B无公共元素，则AB=

三、师生探究

问题2：对于任意的两个集合A、B，AB、AB、A、B之间的关系如何？

问题3：对于给定集合S、A，A、ðSA、S之间的交、并运算结果如何？

将两集合A、B的关系用文氏图分类表示，归纳其公共的结果，并考虑特殊情形

问题4：如图，在全集S中，你能用集合符号表示四个不同颜色区域代SABA,AB

B，ABA, ABB

表的集合吗？

问题4可以借助具体的集合案例进行分析，如设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求CuA, CuB, (CuA) 

(CuB), (CuA) 

(CuB), Cu(AB) , Cu(AB)．

解：CuA=｛1,2,6,7,8｝

CuB=｛1,2,3,5,6｝(CuA) 

(CuB)= Cu(AB)=｛1,2,6｝

(CuA) 

(CuB)= Cu(AB)=｛1,2,3,5,6,7,8｝

四、数学理论

1．交集的性质

(1)AA=A，A=，AB=BA

(2)ABA, ABB．

2．并集的性质

(1)AA=A

(2)A=A

(3)AB=BA

(4)ABＡ,ABB 联系交集的性质有结论：ABAAB．

3．补集的性质

（1）A

(CuA)=U,

（2）A

(CuA)=．

4．德摩根律：(CuA) 

(CuB)= Cu (AB),

(CuA) 

(CuB)= Cu(AB)(可以用韦恩图来理解)．

5．容斥原理

一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有

card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．

五、巩固运用

1．已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=5x}求A∩B,A∪B．

解：A∩B= {x|1≤x≤5}, A∪B=R．

2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

（ð）B

（AB）求ðUA，A∩B，ðU，UA解：把全集U和集合A、B在数轴上表示如下：

由图可知ðUAxx2,或3x4

A∩B＝{x|－2

U(AUA)点评

研究数集间的运算时，常借助数轴将问题形象化，既易于理解，又提高解题速度．

(UB)a,b,c,e,f,g,h；)Bcg3．设U＝{a，b，c，d，e，f，g，h}，已知：①(痧②(ð,UA)UAAb,h，求集合A、B．

③(ðUB)

；

解法一：根据(痧(UB)?B)a,b,c,e,f,g,h，由补集定义知：A∩B＝{d}

UA)U(A即d∈A，d∈B

由②知：c,gðUA，得c,gA，但c，g∈B；由③知：b，h∈A，b，hB

还剩a、e、f三个元素需加以判断

由A∩B＝{d}，得a,e,fAB

若a∈A，则必有aB，即aðUB，得a(ðUB)A与已知③矛盾，因此aA．

同理e,fA．

若a∈B，则必有aA，即aðUA，得a(ðUA)B与已知②矛盾，因此aB

同理亦可得：e,fB

综上所述A＝{b，d，h}，B＝{c，d，g}．

解法二：由(痧(UB)?B)a,b,c,e,f,g,h，得A∩B＝{d}

UA)U(AB)((A(UB))(AB)

∵AAUA((痧UB)∴A＝{b，h，d}

A)((B(UA))(B∵BBUA((痧UA)A)

∴B＝{c，g，d}．

4．学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班至少参加其中一项比赛的有多少人？共有多少名同学没有参加过比赛？

解：设A＝｛x｜x为参加排球赛的同学｝，集合中元素的个数为12；

B＝｛x｜x为参加田径赛的同学｝，集合中元素的个数为20；

则A∩B＝｛x｜x为两项比赛都参加的同学｝，集合中元素的个数为6；

A∪B＝｛x｜x为至少参加一项比赛的同学｝，集合中元素的个数为12＋20―6＝26．

两次比赛均没有参加的共有45―26＝19人．

答：这个班共有19位同学两项比赛都没有参加．

点评

这就是容斥原理card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)的具体应用．

六、回顾反思

这小节我们继续研究了集合的运算，即集合的交、并及其性质本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，注意符号之间的区别与联系。

七、课后练习

1．已知集合M、P、S，满足M∪P＝M∪S，则（

）

A．P＝S

B．

M∩（P∪S）＝M∩（P∩S）

C．M∩P＝M∩S

D．（S∪M）∩P＝（P∪M）∩S

2．已知M＝｛x2，2x－1，－x－1｝，N＝｛x2＋1，－3，x＋1｝，且M∩N＝｛0，－3｝，则x的值为（

）

A．－1

B．1

C．－2

D．2 3．已知集合M＝｛x｜－1≤x＜2｝，N＝｛x｜x—a≤0｝，若M∩N≠，则a的取值范围是（

）

A．（－∞，2）

B．（－1，＋∞）

C．1,

D．［－1，1］

4．已知集合A＝｛x｜y＝x2－2x－2，x∈R｝，B＝｛y｜y＝x2－2x＋2，x∈R｝，则A∩B＝____．

5．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人? 2226．设A=x|x4x0,Bx|x2(a1)xa10,



（1）若A

（2）若ABB，求

a的值；

BB，求

a的值. 参考答案

1．D 2．A 3．C 4．｛y｜－3≤y≤3｝

5．25人

6．

解：⑴（1）由ABBBA，又A0,4，故：

22①当B时，4(a1)4(a1)0，解得a1；

②当B0或4时，即BØA时，4(a1)24(a21)0，解得a1，

此时B0，满足BA；

4(a1)24(a21)0③当B0,4时，2(a1)4，解得a1。

a210综上所述，实数a的取值范围是a1或者a1。

⑵由ABBAB，又A0,4，故只有B0,4，

4(a1)24(a21)0即，解得a1。

2(a1)4a210注：①ABBBA,ABBAB；

②注意B=，也是BA的一种情况，不能遗漏，要注意结果的检验。