2.2.2 函数的奇偶性优秀完整教案

课题：2.2.2函数的奇偶性

授课教师：句容市第三中学 潘莉

教材：苏教版高中数学·必修1

【教学目标】

1.会从形和数两个方面理解奇偶性的概念；

2.会判断简单函数的奇偶性；

3.培养学生的观察、归纳能力，渗透数形结合、特殊与一般等数学思想方法. 【教学重难点】

教学重点：函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断. 教学难点：(1)对函数奇偶性概念的理解；

(2)用数学符号语言刻画函数的奇偶性. 【教学方法与教学手段】

教学方法：教师启发讲授，学生探究学习. 教学手段：多媒体，投影仪. 【教学过程】

一、创设情境，引入新课

情境1. 在大自然和我们的生活中存在着许多对称的现象：苏州雄伟的东方之门；翩翩起舞的蝴蝶；晶莹剔透的雪花；巧夺天工的剪纸.

师生活动：

（1）投影展示图片. （2）你能说出它们分别属于哪种对称吗？你还能举出生活中其他对称的现

象吗？

情境2.（1）对称体现了均衡、和谐美，数学中有哪些对称的现象？

一些平面图形，如：圆，正方形，等腰三角形等；函数的图象. （2）哪些函数的图象具有对称性？

二次函数、正比例函数、反比例函数等. （3）以上函数中，最简单最基本的对称是什么？能否举出这些函数的一个

解析式？

1 关于y轴和关于原点o对称，比如fxx2,fx

x（4）你是怎样发现以上函数图象具有对称性的呢？

翻折和旋转

数学中，我们把这两种最基本的对称特性称为函数的奇偶性.（板书课题）

【设计意图】通过让学生观察生活中的对称现象的图片导入新课，既激发了

学生浓厚的学习兴趣，又为新知做好铺垫.

二、突破难点，建构概念

问题1. 你能判断函数fxx43x2的图象的对称性吗？

结论：目前我们判断图形（包括函数图象）是否具有对称性，是通过翻折和

旋转来判断的，其缺点是必须依赖于图形，或者说只有函数图象已知了我们

才能判断，但当函数图象未知或者不能画出函数图象的时候，我们就不能判

断函数图象是否具有对称性，这就是过分依赖于形的缺陷.那么，我们要重新寻找新的方法.“形”不行，我们可以依靠“数”. 【设计意图】提出问题，形成认知冲突，激发学生的求知欲.

师生活动：以函数fxx2为例，让学生画出该函数的图象. x

f(x)

…

…

-2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4

…

…

设问1.为什么想到取这些点画图？

师生活动：这些点都是关于y轴对称的.比如：A1,1关于y轴的对称点为A'1,1,B2,4关于y轴的对称点为B'2,4,A',B'都在函数的图象上，当图象上所有点关于y轴的对称点都在函数图象上时，这个函数的图象必然关于y轴对称.可见，函数图象对称的本质是图象上点的对称.

设问2.验证所有点的对称点都在函数图象上不现实，应该怎样操作？

师生活动：设Ax,x2是图象上任意一点，其关于y轴的对称点为A'x,x2，



A'x,x2是否在函数图象上？

可见点A'的坐标满足函数fxx2的解析式，A'在fxxx2fx，2函数图象上，函数fxx2的图象关于y轴对称. 问题2. 如何用数量关系刻画“函数fxx2的图象关于y轴对称”？

结论：对任意的xR,有fxfx函数fxx2的图象关于y轴对称

解决问题1：设Ax,x43x2是函数图象上任意一点，其关于y轴的对称点

A'x,x43x2，因为fxx3xx43x2fx，所以A'也在函42数的图象上，函数fxx43x2的图象关于y轴对称. 问题3.能否将上面的结论推广到一般情况？

师生活动：设Ax,fx是函数yfx图象上任意一点，其关于y轴的对称

点为A'x,fx，若fxfx成立，则A'在函数图象上，于是函数

yfx的图象关于y轴对称. 结论：对函数定义域内任意的x，有fxfx函数yfx的图象关于y轴对称,反之显然成立. 可见“函数图象关于y轴对称”与“对函数定义域内任意x，都有fxfx”分别从“形”和“数”的角度刻画了函数的性质，我们把具备这一性质的函数称为偶函数. 问题4.你能用数学符号语言来描述偶函数的定义吗？

偶函数的定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为A,如果对于任意的

xA,都有fxfx，那么称函数yfx是偶函数. 思考：1.偶函数fx的图象特点是什么？

2.偶函数fx的定义域有什么特点？

3.fxfx的本质内涵是什么？

【设计意图】通过学生画图的方法，让学生体会到函数图象的对称的本质实际上

是图象上点的对称.这里采用特殊到一般的思想方法，由特殊的点到任意点，特殊的函数到任意函数，由数到形，找到函数图象关于y轴对称的数量关系.

三、合作探究，类比发现

1探究：以函数fx为例，分组合作研究：

x1.如何用数量关系刻画“函数fx的图象关于原点对称”？

2.奇函数的数学符号定义？

3.奇函数的图象特征？

4.奇函数的定义域特点？

5.奇函数定义表达式的本质是什么？

16.判断函数fxx3是否为奇函数？

x结论：1.对函数fx定义域内任意的x，有fxfx

2.奇函数定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为A,如果对于任

意的xA,都有fxfx，那么称函数yfx是奇函数. 3.奇函数的图象关于原点对称. 4.奇函数的定义域关于原点对称. 5.当自变量取一对相反数时，对应的函数值互为相反数. 6.对任意的x,00,，都有

fxx311xfx，所以该函数为奇函数. xx【设计意图】类比偶函数定义的探讨方法，让学生自己探讨奇函数的定义，

发展学生的思维能力.

四、讲练结合，巩固新知

例1 判断下列函数的奇偶性

（1）fx2x； （2）fx2x； （3）f(x)2x x1,2

分析：（1）方法一：画出一次函数的图象，发现图像关于原点对称，所以该函

数是奇函数. 方法二：函数fx2x的定义域为R

对任意的xR，都有fx2x2xfx成立

所以，函数fx是奇函数. （2）方法一：画出函数的图象，发现图象关于y轴对称，所以该函数是

偶函数. 方法二：函数fx2x的定义域为R 对于任意的xR，都有fx2x2xfx成立

所以，函数fx是偶函数.

(3)方法一:从图像上观察，由于fx的定义域是 1,2 ，所以它的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以fx既不是奇函数，也不是偶函数. 方法二：因为函数fx的定义域是1,2，则，而f2不存在，

f2224不满足对任意的x1,2，都有fxfx或fxfx.所以该函数既不是奇函数又不是偶函数，我们称为非奇非偶函数.

总结:判断函数奇偶性的方法和步骤: 1.图像法：通过判断函数图象的对称性判断

2.定义法：（1）求出函数的定义域并判断是否关于原点对称

；

（2）分别求出

fx和fx，并判断它们的关系；

（3）下结论 . 练习：判断下列函数的奇偶性

x3x2（1）fxxx； （2）fxx22x； （3）fx x13分析：（1）fx的定义域为R

对任意的xR，都有fxxxx3xfx

3 所以fx是奇函数. x20x2 （2）x2 函数的定义域为2

2x0x2 fx0

满足fxfx且满足fxfx

所以函数fx既是奇函数又是偶函数

（3）fx的定义域为,11,，定义域不关于原点对称

所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.

问题5.通过上面的练习，思考：函数按照奇偶性可以分哪几类？

结论：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.

五、回顾总结，反思提高

1.小结：（1）

函数奇偶性的定义；

（2）奇偶函数的图象特征；

（3）函数奇偶性的判断方法和步骤；

（4）研究过程中体现的数学方法思想和策略：

数形结合思想；一般与特殊思想；类比.

2.布置作业：

必做题：1.课本第43页练习1-5 2.课本第44页习题第6题

选做题：课本第45页第11题

【设计意图】巩固知识，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教，必做题为基础训练，选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫.

六、教学设计说明

函数的奇偶性是学生在学习函数概念、函数单调性之后的又一个重要性质，也是一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的奇偶性与函数的单调性、周期性一样，都是研究自变量变化时函数值的变化规律，是研究初等函数的工具. 本节课通过生活中的对称现象引入，让学生体会到对称的美，激发学生的学习兴趣，进而引导学生思考数学中的对称现象，引出函数中两种最基本的对称：关于y轴对称和关于原点对称.初中学生判断这两种对称的方法主要是借助于图形，利用图形的翻折和旋转来判断，通过问题1的提出，让学生意识到当函数图象未知时，依赖“形”去判断会有缺陷，进一步引发学生思考其他的判断方法，即从“数”的角度判断.但是如何用数量关系来刻画这两种对称是本节课的难点也是重点.为了解决这一问题，本节课采用的突破方法是：先让学生画出函数fxx2的图象，学生必然会用描点法画图，并且会取一些对称的点来描，这样

就可以追问学生为什么取这些点？揭示函数图象对称的本质实际上就是点的对称，在此基础上，利用点的对称来证明函数图象的对称性，通过对称点坐标的关系自然的找到了对称的数量关系，再将结论推广到一般并加以证明.这个过程是由“数”到“形”.再由“形”到“数”即根据图象找数量关系学生就比较容易理解.通过一系列问题串的设计学生能够形成对偶函数定义的深刻理解.偶函数的定义挖掘的深刻，对于奇函数的学习自然是水到渠成.