等可能事件频率的稳定性第二课时 公开课

第六章

概率初步

2 频率的稳定性（第2课时）

郑州经济技术开发区实验中学

楚沛珮

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在小学已经能对简单事件发生的可能性能够做出预测，并阐述自己的理由。同时在本章前几节课中又学习了生活中的随机事件发生的可能性大小不同，只有在实验次数很多时，不确定事件发生的频率，会在一个常数附近摆动。学生具备了进一步学习由随机事件发生的频率来估计事件发生的概率的能力。

学生活动经验基础：在上一节的学习过程中，学生已经体验到在掷图钉的过程中，经过很多次试验后，这个随机事件的频率都会在一个常数附近摆动，从而可以估计随机事件发生的概率。通过整个试验过程，可以感受到数据收集和处理的必要性和作用，获得了统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时，学生已经具有了合作学习的经验，为本节的学习奠定了一定的基础。

二、教学任务分析

教科书基于学生对事件发生等可能性的认识，提出了本课的具体学习任务：使学生经历猜测、试验、收集数据、分析实验结果等过程，了解频率的稳定性和如何通过大量重复实验发生的频率来估计事件发生的概率。本课内容出自“统计与概率”这一数学模块，- 1 -

“让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的概率意识”，同时，由于本节课的重点是通过多次试验让学生体会频率与概率的区别和联系，学生分组试验累计次数也只能达到数百次，成千上万次试验在课堂上难以实现，所以借助于几何画板模拟掷硬币的过程，可以让学生充分体会到频率的稳定性这一特征。为此，本节课的

教学目标：

1、通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集数据、分析实验结果等过程，初步体会频率与概率的关系。

2、通过分组试验和几何画板模拟试验，感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。

3、明确概率的意义，并能根据某些事件的频率来估计该事件发生的概率。

学习重点：体会频率与概率的关系，感受随机事件发生的频率具有稳定性。

学习难点：根据某些事件发生的频率来估计该事件发生的概率。

学习方式：学生在教师指导下进行“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”的一系列活动，实物试验、小组合作、统计数据、动手作图并掌握相应的规律。 教学方式：通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历了前人发现- 2 -

这个结果的一系列过程，培养学生发现问题、解决问题的能力。 三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境，激发兴趣；合作交流，获取数据；操作交流，探究新知；学以致用，发展思维；回忆思考，归纳小结；布置作业。

第一环节

课前准备

以2人合作小组为单位准备一枚硬币，并回顾知识点。

第二环节

创设情境，激发兴趣

活动内容：教师首先由春季运动会拔河比赛时间，让学生体会用掷硬币来判断哪个班先挑选场地，是否公平这一事件引出本节课题。同时让学生回顾学过的三类事件，接着让学生抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现正面朝上、正面朝下两种情况，你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？（让学生体验数学来源于生活）。

活动目的：使学生回顾学过的三类事件，并由掷硬币游戏培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会猜测事件可能性。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的实验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）。

实际教学效果：学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测，而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,- 3 -

使猜测的结果更加准确。事实上，学生对游戏发生的可能性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的可能性，这就为下一环节用试验验证事件发生的可能性打好基础。

第三环节

合作交流，获取数据

活动内容：参照教材提供的任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上和正面朝下两种结果，让同学猜想正面朝上和正面朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验。

请同学们拿出准备好的硬币：

（1）同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将数据填在下表中：

试验总次数

正面朝上的次数

正面朝下的次数

正面朝上的频率

（正面朝上的次数/试验总次数）

正面朝下的频率

（正面朝下的次数/试验总次数）

（2）各组分工合作，分别累计进行到20、40、60、80、100、120、140、160、180、200次正面朝上的次数，并完成下表：

20 - 4 -

试验总次数

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 正面朝上的次数

正面朝上的频率

正面朝下的次数

正面朝下的频率

活动目的：一是通过实验让学生体验等可能性事件发生的可能性的发现过程，当试验的次数较少时,折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大,与开始的猜测有矛盾，让学生动脑得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发的把全班试验的结果都统计出来，学会进行实验和收集实验数据。二是培养学生的合作精神，通过实验和收集实验数据的过程使学生之间增进感情，并明白团队合作的重要性。

实际教学效果：学生经过这一环节对等可能性事件发生的可能性的发现过程有了全面地认识，通过实验进一步使学生理解事件发生的可能性，领会数学是来源于生活，进一步了解不确定事件的特点，发展随机观念；在丰富的问题情境中认识到概率可以刻画不确定事件发生的可能性大小。

学生在单独一个小组进行试验时各小组之间正面朝上的频率- 5 -

数据差距较大，与猜测产生矛盾，学生对产生的矛盾进行了讨论，最终得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，使学生能够自己去发现问题，从而得出把全班各个小组的总试验次数统计出来。接下来对如何把全班的试验的结果都统计出来产生了激烈的争论，使学生树立在学习过程中找最佳解决办法的思想。

第四环节

操作交流，探究新知

活动内容：1．请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图

正面朝上的频率

1.0

0.8

0.6

0.5

0.4

0.2

试验总次数

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2．观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？

学生先观察各组同学绘制的折线统计图，从中看出不同点，并总结共同点，得出正面朝上和正面朝下的频率随着试验次数的增加都逐渐接近0.5.之后教师通过EXCEL辅助教学，从同学学生中收集输入掷硬币20、40、60、80、100、120、140、160、180、200次正面朝上的次数，输入表格，可以自动生成正面朝上的频率、正面- 6 -

朝下的次数和正面朝下的频率，还可以生成折线图，折线图里有正面朝上和正面朝下的频率。通过这个过程让学生感受到利用计算机计辅助教学，可以快速准确方便的解决收集数据和绘制折线图。

3．下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据：

试验者

投掷次数n 正面出现

次数m 布 丰

德∙摩根

费 勒

皮尔逊

皮尔逊

维 尼

罗曼诺夫斯基

4040 4092 10000 12000 24000 30000 80640 2048 2048 4979 6019 12012 14994 39699 正面出现

的频率m/n 0.5069 0.5005 0,4979 0.5016 0.5005 0.4998 0.4923 表中的数据支持你发现的规律吗？

学生回答完问题之后，给学生展示利用几何画板模拟掷硬币试验，随着硬币在快速的翻转，硬币正面朝上的次数、频率时刻发生变化，还可以看到用柱状图表示正面朝上和正面朝下频率的变化情况，学生可以非常清晰的看到试验次数较少时，两个柱状图的高低变化比较明显，随着试验次数达到成百上千次之后，两个频率都在0.5附件摆动，而且变化幅度非常微小。通过几何画板演示模拟掷硬币，学生可以亲身感受到掷硬币的次数达到成千上万次之后，正面朝上的频率是什么样的。

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4．总结新知：

（1）、

在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为

：频率的稳定性。

（2）、我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A的概率，记为P(A)。

（3）、一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。 5．想一想：

事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少? 必然事件发生的概率为1；

不可能事件发生的概率为0；

不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。

活动目的：突出本节课的重点，通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，并掌握三类事件的概率值。

实际教学效果：学生通过小组之间的合作、交流，对不确定事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。再通过对历史上数学家所作掷硬币试验数据的讨论学生的思维变得更加活跃，为回答接下来的新知应用做好准备。

第五环节

学以致用，发展思维

1、由前面做的的试验，请你估计抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的概率分别是多少？他们相等吗？

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2、下列事件发生的可能性为0的是（

）发生的可能性为1的是（ ）

A.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上

B.小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家却用了15分钟

C.今天是星期天，昨天必定是星期六

D.小明步行的速度是每小时40千米

3、小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大约为,朝下的概率为，你同意他的观点吗？你认为他再多做一些实验，结果还是这样吗？ 4、小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为,那么，抛掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？

练习设计意图：

1.结合新旧知识发现重要结论。

2.应用所学新知解决典型概率问题，解决与生活实际联系紧密的问题。

3.灵活应用所学知识完成主观问题。培养学生的有条理表达能力，是学生更好的掌握本节课的内容。

第六环节 回忆思考，归纳小结

活动内容：对本节课的知识进行回顾，师生互相交流怎样使用统计来估计事件发生的概率,怎样求简单事件的概率。

活动目的：使学生对用统计来估计事件发生的概率,怎样求简单- 9 -

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事件的概率加深理解并将所学知识应用到实际生活中去。

实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，用统计来估计事件发生的概率,怎样求简单事件的概率有了准确的理解，树立正确的随机观念，通过现实世界中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验。

第七环节 布置作业

A组：课本习题6.3 1、2 B组：课本习题6.3 3

板书设计

6.2.2频率的稳定性

掷硬币试验

次数很大

频率在一个常数附近摆发现频率的稳定性

这个常数表示

事件A发生的

可能性大小

事件

A发生的概率P(A)

在大量重复试验中，常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率

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必然事件发生的概率为1

不可能事件发生的概率为0

随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个数

五、教学设计反思

1．要创造性的使用教材，不拘泥于教材的形式。

本节课通过对具体的现实情境的分析，充分利用学生的生活经验，让学生体验到数学来源于生活，打破了传统的注入式的教学模式，通过一系列精心设计把它改成学生所经历的情境引入课题，激发了学生的学习兴趣。在教学中引导学生进行“猜想一实验一分析一交流一发现一应用”，

学生在操作、思考、交流中不断地发现问题，解决问题，极大地调动了学生的学习的积极性，利用信息技术辅助教学，让学生亲身体会计算机功能的便捷，让学生经历了得出结果的完整过程，尝到了得出结论的不易，从而培养了学生独立探究和解决问题的能力，也激发了学生对数学辅助教学软件的兴趣。

2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

通过课堂上小组合作掷硬币试验、并展示试验结果的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的不同见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3．注意改进的方面

教师应对小组合作给予适当的指导，特别书在收集数据时，应该是小组充分合分，恰当分工，可以大大缩短收集数据，分析数据的过程。包括对知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对- 11 -

学困生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

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