回顾与思考教学实录

第五章

生活中的轴对称

回顾与思考（3）

专题：《线段最值问题——将军饮马模型》教学设计

宝鸡市第一中学

王

涛

一、教材分析

本节内容以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体进行最短路径问题的课题研究，让学生经历实际问题抽象为数学的线段之和最小问题，在学生学***移、轴对称等变换的基础上，主要利用两点之间线段最短和两大基础结论解决问题。

二、学情分析

学生在初中阶段学习过“两点之间线段最短”、“垂线段最短”以及图形的变换等知识，七八年级学生的观察操作猜想的能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学思想的意思较为薄弱，其自主合作学习需要加以引导。加之最短路径问题为最值问题，学生解决此问题的能力经验不足。

三、教学目标

1.能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题。

2.在解决实际问题时可以总结出方法和模型，并进行适当的拓展。

3.体会感悟轴对称的桥梁作用，掌握转化的数学思想。

四、教学重难点

重点：利用轴对称变换将最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题。

难点：如何由将军饮马实际问题转化为数学问题。

五、教学过程

环节一：问题提出

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。

如图，将军在观望烽火后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再走到B点的营地。怎样走才能使总的路程最短？

【设计意图】从数学史上的“将军饮马问题”引入，增加学生数学底蕴。从学生已经学过的知识入手，引导学生分析题意，画出图形，将实际问题转化为数学问题。

环节二：模型归纳

模型一：两定一动模型

1. 同侧和最小值问题

已知一定直线l及l同侧两定点A、B，在直线l上存在到点A、B的距离之和最短的点P．

2. 同侧差最小值问题

两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小．

3. 同侧差最大值问题

两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．

4. 异侧差最大值问题

两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．

模型二：一定两动模型

1.已知两定直线l、k，一定点A，直线l上一动点P，在直线k上找一点B(点A、B在直线l同侧)，在直线l上找点P，使得AP＋PB最小。

2.点P是∠MON内的一定点，分别在OM、ON上作点A、B，使△PAB的周长最小。

模型三：两定两动模型

点P，Q为∠MON内的两定点，分别在OM、ON上作点A、B，使四边形PABQ的周长最小。

模型四：三动模型

如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．

所有模型从“作说证”角度进行讲解，让学生明白作图的方法依据，在书写大题时要写明如何进行的作图，并异于一点证明作出的图形为最值的情况。

【设计意图】从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。学生主动探索，充分发挥学生的主动性，引发学生探究学习的欲望。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。

环节三：拓展提升

例1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边中点，E是AB上一动点，则EC＋ED的最小值为________．

例2.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为

____．

例3.如图，在锐角△ABC中，AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC

于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是____．

例4.如图，已知正方形ABCD的边长为8，点P是BC边上一点，CP∶BP＝1∶3，点M，N是对角线AC上两个动点，且MN＝22，连接BM、NP，则四边形BMNP周长的最小值为____________．

第1题

第2题

第3题

第4题

【设计意图】在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。

环节四：小结

1、本节课研究问题的过程是什么？

2、解决上述问题运用了什么知识？

3、在解决问题的过程运用了什么方法？

4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？

【设计意图】引导学生把握研究问题的策略、思路、方法，并对运用的知识、方法、思想进行归纳总结，培养学生总结在课题学习的基本思路。

六、教学反思

1.问题设计要有启发性。在设计问题的时候也不要设计太难的问题，打击学生的积极性，要把难的问题分解，解剖成简单的小问题一步步来解决。

2.课堂引入，要更加的正规，不能太随意。

3.引入之后，要复习预备知识。把新知识放在旧知识的基础上，通过复习慢慢引出新的内容，这样学生更容易掌握，更容易接受，不会产生畏难情绪，反而觉得清松自如。

4.授课的过程中应该环环相扣，一步步上，要讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像是上台阶，一个个的台阶上。

5.注重建模思想。让学生能从实际问题中抽象出数学问题，本节课的“最短路径问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题，抽象出数学问题。