一元一次不等式与一次函数图象的关系优秀教学设计内容

八年级（下）数学北师大版教案

课题

2. 5.1 一元一次不等式与一次函数

本节课是在学生学习了一元一次不等式后，重新认识已经学习过的一些数学概教材念，即通过讨论一次函数与一元一次不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观分析

学

点加深对已经学习过的不等式的认识，构建和发展相互联系的知识体系．它不是简单的回顾复习，而是居高临下地进行动态分析．

八年级学生的思维已逐步从直观的形象思维为主向抽象的逻辑思维过渡，而且具情

备一定的信息收集的能力．通过前面的学习学生已初步掌握数形结合的数学思想，能分

析

结合实际问题情境观察、分析图象得出有用的信息，例如：一次函数图象的性质及应用，在数轴上表示不等式的解集等．

1．会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，进一步理解函数概念，并从中体会一元一次不等式与一次函数的内在联系；

学

2．通过具体问题了解一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，并能解习

决简单的实际问题．

目

3．通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识，体会用函数图象解决不等数量关系问题的意义，发展函数思想，在“一题多解”标

的学习中，感受学习的乐趣．

重

教学重点：了解一元一次不等式与一次函数之间的关系．

点

难点

教学难点：用一次函数图象解一元一次不等式．

1

八年级（下）数学北师大版教案

一、创设情境、引入新课

问题1：指出函数y＝3x－6的自变量与因变量，并作出其图象，指出图像与x轴、y轴的交点坐标。

问题2：3x60的解与直线与x轴的交点之间有怎样的关系呢？

二、讲授新课

问题3：结合图像指出下列不等式的解集：

(1)3x－6＞0

；

(2)3x－6＜0；(3)3x－6>-6；(4)3x－6<-3；

教

学

过

程

ykxb

问题4：已知y=kx+b图像如图所示，结合图像指出下列不等式的解集：

(1)

kx+b＞0 ；

(2)kx+b＜0；(3)kx+b>-1；(4)kx+b<-1；

问题5：在同一坐标系下，画出函数y＝3x－6与函数y＝-x－2的图象，并计算两条直线的交点坐标。

2

八年级（下）数学北师大版教案

问题6：结合图像，指出3x－6>-x－2的解集；3x－6<-x－2的解集；

问题7：已知y=k1x+b1,知y=k2x+b2图像如图所示，结合图像指出下列不等式的解集：

k1x+b1>k2x+b2; k1x+b1k2x+b2>0

三、课堂巩固

问题1：用画函数图象的方法解不等式：－2x＋3<3x－7. 问题2：甲有存款600元，乙有存款2 000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元．

(1)列出甲、乙的存款额y1、y2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式，画出函数图象．

3

八年级（下）数学北师大版教案

(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？

讨论结果：

问题1：

解法一：原不等式化为5x－10>0，画出直线y＝5x－10的图象，

可以看出x>2时这条直线上的点在x轴上方，即这时y＝5x－10>0，所以不等式的解集为x>2. 解法二：将原不等式的两边分别看作是两个一次函数，画出直线：y1＝－2x＋3，y2＝3x－7的图象，可以看出它们交点的横坐标为2，当x>2时，对于同一个x，直线y＝－2x＋3上的点在直线y＝3x－7上相应的点的下方，这时－2x＋3<3x－7，所以不等式的解集为x>2.

问题2：(1)y1＝500x＋600，y2＝200x＋2 000，图象，略；

(2)从第5个月起甲的存款额超过乙的存款额．

教学说明

问题1中由一次函数与一元一次不等式的关系可先将其化为一般形式，再画图求解；也可以将－2x＋3与3x－7看作是两个关于x的一次函数，即y1＝－2x＋3，y2＝3x－7.于是不等式的解集即对应着y1

四、积累与总结

1．在一次函数y＝ax＋b中，当y＝0时，有方程ax＋b＝0；当y＞0时，有不等式ax＋b＞0；当y＜0时，有不等式ax＋b＜0.由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于(或小于)0时，即为不等式．

2．一元一次不等式ax＋b>0(或<0)与一次函数y＝ax＋b有如下关系：

(1)从函数值的角度看，使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围就是不等式的解集；

(2)从函数图象的角度看，直线y＝ax＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合对应着不等式的解集．

五、布置作业

本节习题1.6

1、2题

六、拓展练习

1．作出函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，并观察图象回答下列问题：

(1)x取何值时，2x－4＞0? (2)x取何值时，－2x＋8＞0? (3)x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？

(4)求出函数y1＝2x－4，y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积．

2．如图2，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动过程中路程与时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题：

4

八年级（下）数学北师大版教案

(1)如果甲、乙二人均沿同一方向在同一直线上行进，出发时乙在甲前面多少米处？

(2)如果甲、乙二人所行驶路程记为s甲，s乙，试写出s甲与t及s乙与t的关系式；

(3)在什么时间段内甲走在乙的前面？在什么时间段内甲走在乙的后面？在什么时间甲、乙二人相遇？

图2

图3 1．分析：要使2x－4＞0成立，就是y1＝2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x＋8＞0成立的x，即为函数y2＝－2x＋8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．

解：图象如图3. (1)当x＞2时，2x－4＞0；(2)当x＜4时，－2x＋8＞0；(3)当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立；(4)由2x－4＝0，得x＝2；

y＝2x－4，由－2x＋8＝0，得x＝4，所以AB＝4－2＝2，由

y＝－2x＋8，1得交点C(3,2)，所以三角形ABC中AB边上的高为2.所以S＝2×2×2＝2. 132．(1)出发时乙在甲前面12米处；(2)s甲＝8t，s乙＝2t＋12；(3)8秒以后甲走在乙的前面，8秒之前甲走在乙的后面，8秒时甲、乙二人相遇．

教学反思

5