8.1 二元一次方程组 教案1

第八章

二元一次方程组

8．1

二元一次方程组

[教学目标]

1．知识与能力

深刻理解方程组解的意义，并会利用解的概念解决问题．

2．过程与方法

在解决问题的过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，感受方程的思想．

3．情感、态度与价值观

培养学生探究问题的兴趣，调动学生学习数学的积极性．

[重点难点] 1．重点：对二元一次方程组解的意义的理解和运用．

2．难点：对二元一次方程组解的概念的理解和转化的能力．

[教学方法] 创设情境——主体探究——应用提高．

[教学过程] 一、创设情境、主体探究，引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组及它的解等概念

问题

1

一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有

50 个头和

140 只脚，问鸡和兔子各有多少只？

教师：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使在座的每一名同学感兴趣．那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？

先让学生思考一下，然后由学生自己做出解答．最后，在学生动手动脑的基础上，教师总结各种解法．

解法一：

在分析时，可提出如下问题：

1．50 只动物都是鸡，对吗？

（不对，因为

50 只鸡有

100 只脚，脚数少了．）

2．50 只动物都是兔子，对吗？

（不对，因为

50 只兔子共有

200 只脚，脚数多了．）

3．一半是鸡，一半是兔子，对吗？

（不对，因为

25 只鸡，25 只兔共有150 只脚，多10 只脚．）

怎么办？

（在学生思考后，教师指出：我们可采取逐步调整、验算的方法来加以解决）．

4．若增加一只鸡，减少一只兔，那么动物总只数、脚数分别怎样变化？

（当增加一只鸡，减少一只兔时，动物的总只数不变，脚数比原来少两只）．

5．现在你是否知道有几只鸡、几只兔了？

（若学生回答还是感到困难，教师应引导学生根据一半是鸡，一半是兔时多

10 只脚，就如问题

4 所述的方法进行调整，即增加

5 只鸡，减少

5 只兔，则多出的

10 只脚就没有了，故答案是

30 只鸡、20 只兔．）

此时，教师指出：这个问题解决了，它在很大程度上依赖于数字，50 和

140 比较小，比较简单，若它们相当大且又很复杂，那么像上述方法这样一次次的试算就很麻烦了．然后提出问题：是否有其他的方法来解决这个问题呢？（若学生在思考后还很茫然，则由教师引导学生尝试用一元一次方程来解．由一名学生板演，其余学生自行完成．）

解法二：

设有

x 只鸡，则有（50－x）只兔．根据题意，得

2x＋4（50－x）＝140．

（解方程略）

教师追问：对于上面的问题用一元一次方程可解，是否还有其他的方法呢？（若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，那么能否设两个未知数来列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程，然后请一名学生板演所列的方程．）

解法三：

设有

x 只鸡，y 只兔，依题意，得

xy50

，

2x4y140

.



针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

1．结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？

2．为什么叫二元一次方程？

3．什么样的方程叫二元一次方程？

结合学生的回答，教师板书二元一次方程的定义：

含有两个未知数，并且未知数的指数都是

1 的方程叫做二元一次方程．

进而归纳二元一次方程组的定义以及二元一次方程组的解的定义：

两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组；

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解．

x30,x30,从解法一我们还知道使方程组中的每一个方程成立，所以我们把叫做,xy50y20y20二元一次方程组的解．

2x4y140

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

问题

2

将上述问题的三种解法进行优劣对比，你有什么想法？

（若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳：当我们运用代数知识将问题转换成代数语言列方程时，就可以借助代数运算来求解．从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，可使学生进一步体会二元一次方程的优点．）

二、应用提高、拓展创新，引导学生进一步对二元一次方程（组）的知识进行探究，培养学生应用知识的能力以及创新的能力

问题

3

现有一些边长相等的正三角形、正方形瓷砖，用这两种瓷砖围绕一点拼地板，能有几种拼法？

学生活动设计：

小组讨论，分组探索，然后每组派一人进行交流．学生根据思考、讨论，发现要围绕一点拼地板，就必须满足在这个点周围的正多边形的各个内角的度数和是

360°，于是可以设围绕一点有

x 个三角形、有

y 个正方形，得到二元一次方程

60x＋90y＝360，即

2x＋3y＝12．进一步探索这个二元一次方程的解（正整数解），经过讨论，发现围绕一点用正三角形、正方形拼地板只有一种情况：即用

3 个正三角形、2 个正方形．

教师活动设计：

参与学生的讨论，在学生找不到等量关系（围绕这个点的正多边形的各内角和是

360°

）时，教师应进行适当的启发和引导．在学生交流时，可能会出现“试出来”的情况，此时可以让学生思考如何用数学的知识进行解释．

〔解答〕设围绕一点有

x 个正三角形，y 个正方形，则

60x＋90y＝360．

即 2x＋3y＝12．

x3

，根据题意，有

y2

.

所以围绕一点只能用

3 个正三角形、2 个正方形拼地板．

x4

，问题

4

写出一个二元一次方程组，使它的解是

y1

.

学生活动设计：

学生分组讨论，进行探索，充分发挥主体性，利用学生的智慧编出各种各样的二元一次方程，然后进行交流．

教师活动设计：

给予学生充分的思考问题的时间与空间，这样才能充分展示学生的创新能力．在交流时，有的学生写出的可能不是二元一次方程组，此时教师应引导学生进行分析、讨论，最xy5后得到正确的结果．(例如方程组) 1x3y三、小结与作业

小结：

让学生回答以下问题：

1．本节课学习了哪些内容？

2．什么叫二元一次方程？

3．什么叫二元一次方程组？

4．什么叫二元一次方程组的解？

然后，教师结合学生的回答，用投影仪将预先制作好的投影胶片打出，以此培养学生归纳小结的能力．

作业：

习题

8.1．