2.2 圆的对称性优秀教学实录

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.2

圆的对称性2

学习目标：

1：理解圆是轴对称图形；2：掌握垂径定理，并能灵活运用.

【前置学习】自学内容一：

1.尝试

（1）

在圆形纸片上任意画一条直径. （2）

沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来：

_______________________________________________________________. 2.探索

如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对折.

通过折叠活动，你发现了什么？_________________________________. 3.总结 垂径定理：_________________________________________________________。

自学内容二：【典型例题】

例1.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，

求⊙O的半径．

E

AB

O

变式1：已知：在⊙O中，⊙O的半径是10，弦AB的长为12厘米，,

A求圆心O到AB的距离．

B

O

变式2：已知：如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，

DCE=1，AB=6，求CD长．

O

EAB

C例2.已知：如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．

AC与BD相等吗？为什么？

O

[来源:学&科&网]ACDB

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

例3.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

（1）求圆的半径； （2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。

OA

BP

例4.有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2米，拱顶高出水面CD的长为2.4米. (1)求圆弧所在圆的半径；

*（2）现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？

C

A B

D

【课堂检测】

1 圆不仅是中心对称图形圆还是________图形,其对称轴为_________. 2 如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

则有AE=_____，

_____= ，

____= ．[来源学#科#网]·

O

3. ⊙O直径为8，弦AB＝42 ，则∠AOB＝_________。

4. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（

）

A．3≤OM≤5

B．4≤OM≤5

C．3＜OM＜5

D．4＜OM＜5 5.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，

若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.

*6. .设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，若⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB与CD之间的距离为_____________.

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.2

圆的对称性1

学习目标：经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程；理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理；能运用所学知识解决相关问题

【前置学习】

1.圆是_______图形，对称中心是___________ 2.如图, ⊙O的直径AB=4,半径OC⊥AB，D为弧BC上一点,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别为E、F.求EF的长. C

D E

A B O F

3.如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.

O

F E C D

A B

【课堂教学】. B′

O(O′)

操作与探究：(1)在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'．

(2)在⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB、∠A'O'B'，连接AB、A'B'．

A′

(3)将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O'重合.

B (4)固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA'重合（按同一方向）A

你发现了什么？请与同学交流．

（5）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得弧AB与弧A'B'重合，你发现了什么？如果使得AB与A'B'重合，你又发现了什么？

（6）由上述发现，你得到了什么结论？

结论：______________________________________________ （7）几何描述：

如图,已知⊙O、⊙O半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O的两条弦

①若∠AOB=∠COD，则 ， ②若AB= CD，则 ， ③若AB=CD，则 ， . （8）为什么要加上“在同圆或等圆中”中这个条件？

（9）及时巩固：如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

AC''OB

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

自学内容2：

(1) 如果把一个圆的圆心角分成360份，则每一份圆心角的度数为____,每一份圆心角所对的弧的度数是_____,两份圆心角的度数为______;每两份圆心角所对的弧的度数是_____；…；反之也成立吗？

(2) 归纳：一般地，n°的圆心角对着____°的弧，n°的弧对着____°的圆心角．

即圆心角的度数与它所对的弧的度数________

(3) 90°的圆心角所对的弧的度数为______

．度数为60°的弧所对的圆心角的度数为_____

自学内容3：

例1.如图，在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径。试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由。

例2.如图，在ΔABC中，∠C =90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求弧AD、弧DE的度数。

【课堂检测】

1.下列说法正确的是（

）

A. 相等的弦所对的弧相等

B. 相等的圆心角所对的弧相等

A C. 相等的弧所对的弦相等

D. 相等的弦所对的圆心角相等

2.若两条弧的度数相等，那么（

）

·

O A. 两条弧所对的弦相等

B. 两条弧的长度相等

C. 两条弧所对的圆心角相等

D. 两条弧是等弧

B C 3.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B=________．

4. 如图, ⊙O的弦AB与半径OE、OF相交与C、D,且AC=BD,

求证:OC=OD,弧AE=弧BF

5.已知：如图，AB是⊙O的直径，M、N分别为AO、BO的中点，D C CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N．求证：AC=BD．

A

B M ·O

N

[来源学*科*网]

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.3 确定圆的条件

【学习目标】了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．

【学习重点】

1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．

2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．

【学习难点】经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．

一、【前置学习】

1.思考：问题1:经过一点我们能够作几条直线?经过几点才能确定一条直线? 问题2:经过几点才能确定一个圆呢? 实践：（a）过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？

（b）过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？……（发现新问题）. 问题3:观察你所作的圆,发现它们有什么样的特点吗? 发现: (c)经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个? 2.判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（

）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（

）

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（

）

（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（

）

（5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等．（

）

3.钝角三角形的外心在三角形（

）

（A）内部 （B）一边上

（C）外部 （D）可能在内部也可能在外部

4.按图填空：

△ABC是⊙O的_________三角形；⊙O 是△ABC的_________圆

二、【课堂导学】

我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．

(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？

由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．

三、【精讲点拨】

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

活动1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的A位置有怎样的特点？

A

A

BCBC

CB

锐角三角形直角三角形钝角三角形

变式1：已知一条弧AB，请你用所学的知识

找出这条弧的圆心，并将它补充成一个完整的圆。

变式2:如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线

交AB于C，交弦AB于D. C (1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径. D A B

活动2。如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 .

A

拓展：如图，△ABC内接于⊙O，其中AB=AC=13cm，BC=10cm，

求⊙O的半径

OBC

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.4 圆周角1

学习目的：1．认识圆周角,掌握圆周角的两个特征；

2．经历探索同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程，体验“观察—猜想—验证—归纳”的过程，初步应用其解决问题；

学习重点、难点：1.经历探索同弧或等弧所对圆周角与圆周角及圆周角与圆心角的关系的过程；2. 圆周角位置的分类以及一般位置关系与特殊位置关系的相互转化. 【情景引入】 1.你怎样理解圆周角？在圆中画一画。

O

BC2.弧的度数和它所对的圆心角度数、所对的圆周角度数有什么样的关系？用图形进行说明。

3.经过以上操作你能得到怎样的结论？

【典型例题】 ⌒例1.如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，BC

为70°。求∠ABD、∠AED的度数。

变式：连接AC交BD与点F，求∠ACD、∠AFD的度数

。

【课堂检测】 _

D_

A_

B_

O_

C_

E1.识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

0 2.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35(1)∠BDC=_______°,理由是 ．

(2)∠BOC=_______°,理由是 ．

A

BO

C

3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=60°，则∠BOC= °，若∠AOB=90°，

则∠ACB= °。

4.如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数。

AD

O

CB

5.如图，点A、B、C、D在⊙O中，∠ADC=∠BDC=60°，判断ΔABC形状，并说明理由.

A

D

OBC6.如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，

比较∠BAC 与∠BDC的大小，并说明理由。

BAFDEOC

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.4 圆周角2

学习目标：1．进一步巩固同弧所对的圆周角和其所对的圆心角之间的关系；

2．掌握直径和所对圆周角是直角之间的相互确定关系；

前置学习

B1.1000的弧所对的圆心角等于______，所对的圆周角等于______

。

AC2.一条弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，

O则这弦所对的圆周角度数为_________。

BEOA3．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=60°，

CD则∠BOC=

°，若∠AOB=90°，则∠ACB=

°，

第3题

第4题

4．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，

∠AED=75°，则∠ABD=

课堂教学

问题1 .如果BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角还是直角？为什么？

问题2. 如果圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？

归纳总结（圆周角定理的推论）：________________________________________。

注意：构造直径所对的圆周角是圆中常见辅助线. 例1.使用曲尺检验工件的凹面，成半圆的为合格.图中几种情况合格的是

（

）

练1 练1..如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,求∠BCD=_______，∠BOD=_______。

例2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°，

求∠CEB的度数。

C

E

B

A

O

D

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

⌒

=⌒

,BG分别交例3.如图，BC是⊙O的直径，点A、G在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，AGABAD、AC于点E、F。.判断△AEF的形状，请说明理由。

变式练习：若点G与点A在直径BC的两侧，BG、AC的延长线交于点F，AD的延长线交BG于点E,其余条件不变，例3中的结论还成立吗？

课堂检测

姓名___________________

1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=400，则∠ACD的度数是_________

2.如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=300，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5，则CD=_________ 3.如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=300，则⊙O的半径是_________

(1)

(2)

(3)

(4) ⌒

的中点。求证：AB是4.如图，在⊙O中，弦AB、DC的延长线交于点E，且DC=CE，C是BD⊙O的直径。

★思考：.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O上一点，DO⊥AC,

垂足为E，连BD；（1）求证：BD平分ABC；（2）当∠ODB=300时，求证：BC=OD

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.4 圆周角3

学习目标1.了解圆的内接四边形的概念，2.掌握圆的内接四边形的性质

3.运用圆的内接四边形的性质解决有关问题

前置学习

1.如图，AB是⊙O的直径，∠A=20°,则∠ABC=

°

2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=35°，则∠BCD=

，∠BOD=

. ⌒3.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，则AC

的度数是

. AC

C

ABO

BAOO

CD课堂教学

B一、情景创设:

如图，△ABC是⊙O的

三角形，⊙O是△ABC的

圆。对照“三角形的外接圆”“圆的内接三角形”的定义，你认为应该如何定义“四边形的外接圆”“圆的内接四边形”？

A定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，

这个四边形叫做___________________，

O这个圆叫做四边形的___________．

BC二、探索活动

活动一、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是直径，∠A与∠C，∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？______________________________ 活动二、如图，若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，上述结论是否仍然成立？为什么？

A

DCCE

DO

OO

DBABBA

归纳：___________________________________________. C三、例题教学

⌒例1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°。若点E在AD

上，求∠E的度数。

变式1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个

外角，若∠D=100°，求∠CBE的度数。

DOCABE

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

变式2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，求∠BOD的度数。

A

O

D

B

C课堂检测：

1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC＝80 °，则

∠D＝

，∠CBE＝

．

2．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：4：7：m

，则m＝

，∠D＝

．

3. 已知圆的内接四边形ABCD四条边长顺次为：AB=2，BC=7，CD=6，DA=9，则四边形的面积为_____________. 4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？

5.

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，B是弧AC的中点，AD=20，CD=15，求四边形ABCD的面积．

★

思考：

如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，

求证：AM=DC+CM

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.5直线与圆的位置关系（1）

【学习目标】

1．通过观察图形，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；

2．掌握“直线与圆的位置关系”与“圆心到直线的距离d与半径r的数量关系”的对应关系；

3、经历探究直线与圆位置关系的过程，体会数形结合、转化等数学思想。

【重点难点】

重点：直线与圆的位置关系的判定.难点：d、r数量关系和直线与圆的位置关系之间内在联系. 学习过程：

（一）前置学习

1.已知点P在⊙O外，且⊙O的半径为5，设OP=x，那么x的取值范围是

.

2.已知⊙A的半径为5，圆心A（-3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是

.. 3.在纸上画一个圆，上下移动直尺，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？

OOO

(二）互动探究：

1. 请你感受直线与圆的位置关系的变化：

（1）

有变化.

（2）

有变化. 2.练一练: 圆心到直线（1）填一填：

直线和圆的位置关图形

公共点个数

距离d与半

系

径r关系

（2）已知⊙O的半径为8: (1)若圆心O到直线l的距离是6，则直线l与⊙O的位置关系是 ,此时直线l与圆有 几个交点？（2）若直线l与⊙O只有一个公共点，则圆心到直线l的距离是 ，此时，直线l叫做⊙O的 。

3.总结：（1）当直线与圆有两个公共点时，叫做

；当直线与圆有唯一公共点时，叫做

，这条直线叫做

。当直线与圆没有公共点时，叫做

。

（2）如果用圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的关系来确定直线与圆的位置关系可得

直线和圆相交 

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

直线和圆相切  直线和圆相离  (三）典型例题：例1．已知，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，rB为半径作圆：

（1）若r=2cm，则⊙C与直线AB有怎样的位置关系？若r=3cm呢？

4（2）若⊙C与直线AB 相切，则r等于多少呢？ （3）若⊙C与线段AB 只有一个公共点，则r应取怎样的值？

3CA

y例2 .已知点A的坐标为（-3，-4）. 54(1)若⊙A的半径为3，，则⊙A与x轴的位置关系是 , 3⊙A与y轴的位置关系是 .

2(2)

⊙A与坐标轴的的公共点个数情况与⊙A的半径r的取值

1o范围有怎样的对应关系？

-5-4-3-2-112345-1

-2-3

-4

-5（四）课堂检测

1.判断正误：

（1）与圆有公共点的直线是圆的切线 . （ ）

（2）过圆外一点画一条直线,则直线与圆相离. （ ）

（3）过圆内一点画一条直线,则直线与圆相交. （ ）

2.若⊙O的直径为10cm，圆心到直线l的距离是10cm，则直线l与⊙O的位置关系是 . 3. 已知Rt△ABC的斜边AB=13，AC=5，以B为圆心作圆，当半径r= 时，直线AC与⊙xB相切.

4.已知⊙O的半径为5cm，如果一条直线上的只有一个点和圆心O的距离为5cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为 . 5.去年某地将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便AB两地的师生交流学校准备在相距2千米的A、B两地修建一条笔直的公路（如图中的线段AB）经测量在A地北偏东60°的方向上，在B西北方向的C处，由一个半径为0.7千米的公园，问这条公路会不会穿过公园？为什么？

C60°A45°B

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

2.5直线与圆的位置关系（2）

1.探索圆切线的判定方法和切线的相关性质，理解和掌握切线的性质与判定方法。

2.能够综合运用切线的性质和判定解决有关问题。

重点难点：直线与圆相切的判定与性质及应用。

学习过程：

一. 前置学习

1.已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系.

O •

2.回忆切线的定义.你有哪些方法可以判定直线与圆相切？

方法一：定义——________；

方法二：数量关系——________”

二.互动探究: 1.操作与思考一：

已知OA是⊙O的半径，A是半径的外端点。

求作：直线l，使得OA⊥l于点A。（不写作法）

回答：

这条直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

2. 操作与思考二：

如图，已知直线AB与⊙O相切于点C，连接OC，用量角器量一量，ACO

。

试证明这一结论。

总结：1.经过半径的

并且

这条半径的直线是圆的切线；

如图，∵

O•

A OAOACB∴直线

AB是⊙O的切线。

DB

2.圆切线垂直于

的半径。

如图，∵直线

AB是⊙O的切线

BAA∴

OC练一练:

1.如图，AC是⊙O的切线，切点为A，B是⊙O上一点，

若∠ACB=32°，∠ABC=

°。

2.判断题：（1）经过半径的一端并且垂直于半径的直线是圆的切线；（

）

（2）切线垂直于半径；

（

）

（3）经过直径的一端并且垂直于半径的直线是圆的切线；（

）

三、例题教学

扬中市同德中学

数学九年级（上）教学案

校训：做人、求知

例1.△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.

例2.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于

点D，∠ACD120，BD10．（1）求证：CACD；（2）求⊙O的半径．

A

OB

例3.如图，PB切⊙O于A，O为∠BPC平分线上一点，求证：⊙O与PC相切．

A

PO

课堂反馈

1.如图1，AB与⊙O切于点B，AO＝6㎝，AB＝4㎝，则⊙O的半径为（

）

A.45㎝

B.25㎝

C.213㎝

D.13㎝

2.如图2,AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若，

若∠C＝18°，则∠CDA＝_______.

DCCD

BC

图1

图2 O

AOBAB3.已知，如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥弦AD，

求证：DC是⊙O的切线.

4.如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，

且OC垂直OA,判断三角形CBP的形状并说明理由.

APCOB