利用完全平方差公式进行因式分解课堂实录【1】

第四章

因式分解

3．公式法（二）

五里甸子学校

贾云一

本节是因式分解的第3小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历通过逆向运用整式乘法的完全平方公式得出因式分解的完全平方公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学***方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。．

学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。

二、教学任务分析

学生在学***方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。因此，本课时的教学目标是：

知识与技能：

1. 使学生理解完全平方公式的意义，弄清完全平方公式的形式和特点;知道把完全平方公式反过来就可以得到相应的因式分解。

2. 会用完全平方式进行因式分解。

过程与方法：

在导出完全平方式公式以及对其特点进行辨析的过程中，发展学生的逆向思维和推理能力。

情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会

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因式分解在数学学科中的地位和价值。

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：做一做——辨一辨——试一试——想一想——反馈练习——学生反思．

第一环节：复习巩固

1.

我们共学过几种因式分解方法? 2.

除了平方差公式外，还学过了哪些公式？

做一做

活动内容：填空：

（1）（a+b）（a-b）

=

；

（2）（a+b）2=

；

（3）（a–b）2=

；

根据上面式子填空：

（1）a2–b2=

；

（2）a2–2ab+b2=

；

（3）a2+2ab+b2=

；

结

论：形如a2+2ab+b2

与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．

活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．

注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

第二环节

辨一辨

活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．

（1）a2-ab+b2

（2）a2-4a+4

（3）x2+4x+4y2

（4）x2-6x-9

（5）-a2+2ab-b2

结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾两倍加减在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a2–2ab+b2=（a–b）2

a2+2ab+b2=（a+b）2

活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．

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注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，尤其是公式中的a和b是多项式时，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．

第三环节

试一试

活动内容：把下列各式因式分解：

（1）x2＋14x＋49

（2）4a2 +12ab+9b2

（3）(m+n)2-6(m+n)+9

（4）16x4-8x2+1

学生合作完成题目，小组合作展示活动

目的：（1）培养学生对完全平方公式的应用能力；

（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．

注意事项：学生对第（4）小题错的比较多，往往因式分解不彻底，这是很多学生经常犯的一个错误．本题用了两次乘法公式，难度稍大，教师要鼓励学生大胆尝试，敢于创新。

第四环节

想一想

活动内容：

将下列各式因式分解：

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）–x2–4y2+4xy

活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．

注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解. 第五环节

反馈练习

活动内容：

1、判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）2

(

)

（2）x2–y2= (x–y)2

(

)

（3）x2–2xy–y2= (x–y)2

(

)

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（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2

(

) 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：

（1）x2–x+1

（2）9a2b2–3ab+1 41

（3）m23mn9n2

（4）x610x525

43、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

（3）–2xy–x2–y2

（4）4–12（x–y）+9（x–y)2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：当完全平方公式中的a与b

表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．

第六环节

学生反思

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

注意事项：学生认识到了以下事实：

（1）有公因式则先提取公因式；

（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；

（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

对于应用提升部分，可让学有余力的学生操作。

四、教学反思

逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维．它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的

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载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程．

数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式法则等很不习惯．因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展．

整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现．

板书设计：

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