3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学实录

7.1直线的倾斜角和斜率（一）

教学目标：

1.知识目标：使学生了解直线方程的概念，理解直线的倾斜角、斜率概念，掌握有关倾斜角和斜率计算的基本方法。

2.能力目标：通过直线与方程、斜率与倾斜角、方程与斜率之间关系的研究，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力。

3.情感目标：由倾斜角和斜率的内在联系感受形与数、动与静的关系，提高辩证的认知水平，让学生感悟到数学的数形结合之美。

教学重点：直线斜率的概念

教学难点：直线斜率概念的理解，斜率与倾斜角的联系。

教学方法：引导探索、讨论合作

教学过程：

一．

教学引入

现在好多家庭买的房子都是跃层，在装室内楼梯时要根据家里的具体情况，有的楼梯比较缓，而有的却比较陡峭，观察楼梯的纵截面，抽象到我们的数学问题中，实际可以看着是直线的y

问题。今天我们就来研究一些直线的相关问题。

l二．

新课讲解

pA1.

直线的方程与方程的直线

一次函数y=2x+1与它的图像——直线l有下面关系：

x

O（1）

有序数对（0，1）满足函数y=2x+1，直线l 上就有一点A的坐标为（0，1）

（2）

直线l上有一点P（1，3），而有序数对（1，3）满足函数y=2x+1 一般的，满足函数y=kx+b的每一对x,y的值，都是直线上的点的坐标（x,y）;反之，直线上每一点的坐标（x,y）都满足函数y=kx+b，因此，一次函数y=kx+b的图像直线l正好是y=kx+b的每一对x,y的值为坐标构成的。而函数y=kx+b可以看作是二元一次方程y-kx-b=0，这样，直线和方程建立了联系。

定义：

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做方程的直线。

2.

直线的倾斜角

问题1.在同一直角坐标系中，作出下列三个方程所表示的直线，并观察它们的异同

y=x+1; y=2x+1; y=-x+1

y 预设：过定点，倾斜程度不同

问：如何确定一条直线？

预设：两点确定一条直线。

o

x 引导学生思考还有其他方法吗？（与x轴的夹角）

定义：

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做

yy直线的倾斜角.

ll特别地，当直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°

αxx因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是

OO0°≤＜180°

王新敞α王新敞

3.

直线的斜率

观察刚才说的楼梯的纵截面，斜面与水平面所夹角为, 

斜面的倾斜程度就可以用tan来表示 定义：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示. 即k= tan 可见，倾斜角从“形”的角度刻画了直线，斜率从“数”的角度刻画了直线。

特别地，倾斜角是90的直线没有斜率

y问题2：直线的倾斜角与斜率有什么关系？

讨论直线斜率随倾斜角的变化如何变化？

=0时，k=0; 王新敞0<<时，k>0，k随的增大而增大; O2x=时，k不存在；

<<时，k<0，k随的增大而增大

三．

典例讲解

例1.

已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1) ＝0°；（2）＝60°；(3) ＝90°；（４）＝解：(1)∵tan0°＝0 ∴倾斜角为0°的直线斜率为0；

(2)∵tan60°＝3 ∴倾斜角为60°的直线斜率为3；

(3)∵tan90°不存在 ∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；

3

43＝tan()＝－tan＝－1，

4443∴倾斜角为π的直线斜率为－1. 4(4)∵tan例2

设直线的斜率为k，且3k3，指出直线倾斜角的范围．

3分析：倾斜角与斜率有关，根据公式ktan和正切函数的单调性，由斜率的范围可以得到倾斜角的范围，可以画图，利用数形结合来帮助解决问题．

解：

ktana，由已知得

3tana3．

3

0,，0,2,．

63

∴

直线的倾斜角的范围是0,2,．

63四．

课堂练习

五．

小结：通过本节学习，要求大家理解直线倾斜角和斜率的概念，能解决已知直线的倾y斜角求斜率的相关问题。

六．

课后作业：

ll1.书40页习题7.1 1，2 2.补充题：

21l3（1）如图，直线,,A.C.的斜率分别为,

,,则（）

xO B. D.（2）设直线的倾斜角的范围是,，则该直线的斜率的取值范围是____ 36

5