复习参考题特级教师教学实录

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第3课时

圆的方程

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程考纲传真

与一般方程．

2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

1．圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．

确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．

2．圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

特别地，当圆心在原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2．

3．圆的一般方程

对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. DE1(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为(－，－)，半径为D2＋E2－4F的圆；

222DE(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－，－)；

22(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．

4．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．

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1．(人教A版教材习题改编)圆的方程为x2＋y2＋2by－2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为(

) A．(0，b)，3b

B．(0，b)，3|b| C．(0，－b)，3b

D．(0，－b)，3|b| 【解析】

圆的标准方程为x2＋(y＋b)2＝3b2，

从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为3|b|. 【答案】

D 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(

) 22A．a＜－2或a＞

B．－＜a＜0 332C．－2＜a＜0

D．－2＜a＜

3【解析】

由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，

2解得－2＜a＜. 3【答案】

D 3．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(

) A．x＋y－1＝0

B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0

D．x－y＋3＝0 【解析】

因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 【答案】

C 4．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(

) A．－1＜a＜1

B．0＜a＜1 C．a＞1或a＜－1

D．a＝±1 【解析】

因为点(1，1)在圆的内部，

∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1. 【答案】

A 5．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．

【解析】

设圆心坐标为(a，0)，易知（a－5）2＋（－1）2＝（a－1）2＋（－3）2，www.91taoke.com

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解得a＝2，∴圆心为(2，0)，半径为10，

∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 【答案】

(x－2)2＋y2＝10

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求圆的方程

已知圆心在直线y＝－4x，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆的方程．

【思路点拨】

(1)设圆的标准方程，待定系数法求解；(2)利用圆的几何性质求圆心和半径．

【尝试解答】

法一

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

b＝－4a，（3－a）＋（－2－b）＝r，则有

|a＋b－1|2＝r，222解得a＝1，b＝－4，r＝22. ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二

过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

∴半径r＝22，

∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.,

求圆的方程有两种方法：

(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．

(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．

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若一三角形三边所在的直线分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程是________．

【解析】

结合题意，解得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)，作出图形可知三角形是以(1，2)，(3，1)两顶点的连线为最长边的钝角三角形．所以圆的直径为d＝5，335圆心坐标为(2，)，则圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝. 22435【答案】

(x－2)2＋(y－)2＝

24

与圆有关的最值问题

已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. y(1)求的最大值和最小值；

x(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

【思路点拨】

根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．

【尝试解答】

(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，

y表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率．

xy所以设＝k，即y＝kx. x当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，

此时|2k－0|＝3，解得k＝±3. k2＋1y所以的最大值为3，最小值为－3. x(2)设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，

|2－0＋b|此时＝3，解得b＝－2±6. 2所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，

由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，

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所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，

x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.,

与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

y－b(1)形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；

x－a(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．

若本例中的条件不变．

(1)求y＋2的最大值和最小值；

x＋1(2)求x－2y的最大值和最小值．

【解】

(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，

表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．

y＋2的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率，

x＋1设y＋2＝k，即y＋2＝k(x＋1)．

x＋1当此直线与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，

|2k＋k－2|此时＝3，

k2＋16＋306－30解得k＝或k＝. 66∴y＋26＋30的最大值为，

6x＋16－30最小值为. 6(2)x－2y可看作是直线x－2y＝b在x轴上的截距，

当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值．

|2－b|此时：＝3，

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∴b＝2＋15或b＝2－15. ∴x－2y的最大值为2＋15，最小值为2－15.

与圆有关的轨迹问题

设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

→→→【思路点拨】

四边形MONP为平行四边形⇒OP＝OM＋ON⇒把点P的坐标转移到动点N上⇒而点N在圆上运动，故可求解．需注意O、M、N三点共线的情况．

【尝试解答】

∵四边形MONP为平行四边形，

→→→∴OP＝OM＋ON，

设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则

→→→ON＝OP－OM＝(x，y)－(－3，4)＝(x＋3，y－4)．

又点N在圆x2＋y2＝4上运动，

∴(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形．

9122128故动点P的轨迹是圆且除去点(－，)和(－，)．,5555

1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．

2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．

(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．

(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．

(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可用Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．

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已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程．

【解】

法一

直接法

设P(x，y)，圆心C(1，1)，

∵P点是过点A的弦的中点，

→→→→∴PA⊥PC，又PA＝(2－x，3－y)，PC＝(1－x，1－y)，

∴(2－x)(1－x)＋(3－y)(1－y)＝0，

35即(x－)2＋(y－2)2＝，

2435∴中点P的轨迹方程是(x－)2＋(y－2)2＝. 24法二

定义法

由已知得，PA⊥PC. 由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上，圆心C(1，1)，

∴|AC|＝（2－1）2＋（3－1）2＝5，

3线段AC的中点坐标为(，2)，

235故中点P的轨迹方程为(x－)2＋(y－2)2＝. 24

一个条件

二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0. 一种方法

求圆的方程主要是待定系数法，一般步骤是：

①根据题意，选择标准方程或一般方程．

②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．

③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．

两种措施

1.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法有：

(1)直接法：直接根据条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线的定义列出方程．

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(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列出方程．

(4)代入法：由动点与已知点的关系列出方程．

从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几何性质的考查，在求解与圆有关的解答题时，应注意解题的规范化．

规范解答之十三

利用待定系数法求圆的方程

(12分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

【规范解答】

(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋22，0) ，(3－22，0)．

故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，

解得t＝1.则圆C的半径为32＋（t－1）2＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.6分

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：

x－y＋a＝0，

22（x－3）＋（y－1）＝9.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0. a2－2a＋1从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.

①8分

2由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.

②10分

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由①，②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.12分

【解题程序】

第一步：求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标；

第二步：求出圆的标准方程；

第三步：联立直线与圆的方程，设出点A、B坐标；

第四步：结合韦达定理，由条件OA⊥OB列出关系式，求出a值．

易错提示：(1)第(1)小题中，求过三点的圆的方程时，选择方法不恰当，造成构建的方程组过于复杂，导致求解失误．

(2)第(2)小题中，不能充分利用一元二次方程根与系数的关系，由条件列出等式．

防范措施：(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．

(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧.

1．(2012·湖北高考)过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(

) A．x＋y－2＝0

B．y－1＝0 C．x－y＝0

D．x＋3y－4＝0 【解析】

当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．

圆心O与P点连线的斜率k＝1，

∴直线OP垂直于x＋y－2＝0. 【答案】

A 2．(2013·青岛质检)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)、B(1，0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．

2222【解析】

设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y20＋(x0－1)＋y0＝2(x0＋y0)＋2，

2设u＝x0＋y20，

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则由题意知u的最大值为6，u的最小值为4，

故d的最大值为74，最小值为34. 【答案】

74

34

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