第四章 圆与方程（通用）优秀教案板书设计

§2.1圆的标准方程

教学目标

(一)知识与能力

1.了解如何确定圆; 2.理解圆的标准方程的推导过程及方程形式。

3.掌握通过圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准方程。

(二)过程与方法

1.由确定圆的条件推导出圆的标准方程; 2.明确求圆的标准方程的一般步骤. (三)情感态度与价值观

1.渗透数形结合的思想方法; 2.培养学生的思维品质和提高学生的思维能力. 3.培养学生合作交流的意识,培养勤于思考、探究问题的精神. 教学重点 1.已知圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程的求法; 2.在求圆的标准方程的过程中,加强对坐标法的理解. 教学难点

根据已知条件,利用待定系数法确定圆的三个参数a,b,r,从而求出圆的标准方程. 教具准备

制作多媒体,辅助教学. 教学方法

引导、合作、讨论、探究法. 设计思想

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。

教学过程

(一)课题引入

1.圆的定义①:平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形. (描述性定义) [探究] 圆的几何特征(学生讨论) 教师总结:圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长. 说明:(1)定点叫圆心,定长称为半径;

[探究]:确定圆的条件(学生讨论) 教师总结:一个圆的圆心位置和半径一旦给定,那么这个圆就被确定下来了,所以确定圆的条件是圆心和半径.

说明:在确定圆的条件中,圆心和半径缺一不可,其中: ①圆心确定圆的位置,②半径确定圆的大小. 2.圆的定义②:平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹(集合). (运动变化的思想) 说明:(1)其中定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径. (2)设圆心为C(a,b),半径为r(r0)的圆上的点M就是集合PM|MC=

r3.曲线方程的一般求解步骤:(1)写出适合条件的点M的集合; (2)用坐标表示集合; (3)化方程为最简形式. (二)圆的标准方程

圆的标准方程的推导过程:(圆心为C(a,b),半径为r(r0)的圆)

设P(x,y)是圆上的任意一点,根据圆的定义,点P(x,y)到圆心C(a,b)的距离为r,即PCr,由两点间的距离公式,得(xa)2(yb)2r ①

把①式两边平方,得圆的标准方程为:(xa)2(yb)2r2

[说明]: (1)圆的标准方程中有两个基本要素:圆心和半径,即只要三个参数a,b,r(r0),确定了,圆的标准方程就确定了,这也是用待定系数法求圆的标准方程的思想方法; (2)特别地,当ab0(即圆心在坐标原点),时,圆的标准方程为: x2y2r2;又当r1时,圆的标准方程为x2y21(单位圆); (3)点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆内,点在圆外. [及时反馈] 1:下列说法正确吗? (1)圆(x1)2(y2)23的圆心坐标为(1,2),半径为3; (2) 圆(2x2)2(2y4)22的圆心坐标为(2,4),半径为2; (3) 圆(x1)2(y2)2m2(m0)的圆心坐标为(1,2),半径为m; 口答2:下列方程分别表示什么图形? (1)x2y20; (2) x2y24; (3)y4x2; (4) y4x2(x0);

3:已知圆O的方程为(x1)2(y1)24,判断下列点与圆O的位置关系: (1)A(1,1); (2)B(0,1); (3)C(0,3)

4:写出满足下列条件的圆的标准方程. (1)以C(4,6)为圆心,半径等于3

(2)以C(4,6)为圆心,半径等于3

(三)例题解析

例.已知两点M1(4,9),M2(6,3),求以M1M2为直径的圆的标准方程. 解:方法一(待定系数法). 设圆心为C(a,b),半径为r(r0) 则a46935,b6

22rCM1(45)2(96)210

故所求圆的标准方程为(x5)2(y6)210

变式1.已知圆C的圆心在直线4xy0上,且过点M1(4,9),M2(6,3),求此圆的标准方程. 解: 线段M1M2的中垂线方程为x3y130, x3y130x1 即圆心坐标为C(1,4), 4xy0y4又r2M1C(4(1))2(94)250, 故所求圆的标准方程为(x1)2(y4)250

变式2.已知M1M2M3三个顶点的坐标为M1(4,9),M2(6,3),M3(4,3),求此三角形外接圆的标准方程. 解: 线段M1M2的中垂线方程为x3y130,线段M1M3的中垂线方程为y3

2x3y130x4 由 即得圆心C的坐标为(4,3)

y3y3

又r2(46)2(33)2100 故所求圆的标准方程为(x4)2(y3)2100

[总结]用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤: (1)根据题意,设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2 ; (2)根据已知条件,利用几何或代数关系求出a,b,r; (3)将所得的a,b,r的值代回所设的圆的方程中,即得圆的标准方程. (四)测试反馈

1. 课本P79练习

2. 求满足下列条件的圆的标准方程: (1)经过点P(5,1),圆心为点C(8,3); (2)如图,圆经过两点A(1,4),B(3,2),圆心在y轴上. 解(1)方法一:rPC5,∴圆的标准方程为(x8)2(y3)225

方法二:设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2,∵点P(5,1)在圆上, ∴(58)2(13)2r2,∴r225,∴圆的标准方程为(x8)2(y3)225

(2)方法一:设圆心为C(a,b),∵圆心在在y轴上,∴a0, 设圆的标准方程为x2(yb)2r2,因为该圆过A(1,4),B(3,2)两点,所以有222b1(1)(4b)r22 ,所以圆的标准方程为x(y1)10

2222r103(2b)r方法二:线段AB的中垂线方程为:y32(x1),即y2x1,令x0,得y1, 又rAC10, 所以圆的标准方程为x2(y1)210

3.求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x4y70相切的圆的标准方程. 解:以题意,圆的半径r31437324216, 5256

25所以圆的标准方程为:(x1)2(y3)2

(五)课时小结

(1)确定圆的条件; (2)圆的标准方程的形式和求法.

(六)布置作业 (1)P85 习题A组 1 (1),(2),(3)

(2)问题延伸,课外探究: (ⅰ)已知圆的方程为x2y2r2,试求过圆上一点P(x0,y0)的切线方程. (ⅱ)已知圆的方程为(xa)2(yb)2r2,试求过圆上一点P(x0,y0)的

切线方程. (七)板书设计

略

(八)课后反思

本节内容是在初中学生对圆的有初步了解的基础上进行学习，所以学生学习起来是比较容易接受的，圆的标准方程是本节的难点，为突破难点，设计的3个例题。3个例题意在引导学生在对圆的理解是要多数形结合，不断去探究，不断求知。