1.2 充分条件与必要条件（通用）主要内容及教案内容

1.2.1充分条件与必要条件

项目

课题

（1课时）

教材分析

《充分条件与必要条件》是高中数学教材中的重要内容，是正确进行逻辑

推理必不可少的基础知识，是高考的重点。由于本节内容涉及对概念进行

推理，因此需要全面的掌握概念；本节教材是在对命题“若p,则q”的探

究中，给出了充分条件，必要条件的概念；由于这节课概念性、理论性较

强，内容相对比较抽象，学生较难理解和掌握，一般的教学方式容易使学

生感到枯燥乏味；为此，教材紧密结合了已学过的数学实例和生活实例，

避免了空泛的讲数学概念、思想、方法；始终要以学生为主，让学生在自

我思考、相互交流中去总结概念，去体会概念的本质属性，同时结合问题

激发学生的学习兴趣，引起学生探究的好奇心，激发出学生潜在的创造力，

教材分培养学生的创新意识。

学

目标

1．知识与技能

理解充分条件、必要条件的概念，掌握它们的判断方法和技巧，熟悉判断步骤． 2．过程与方法

充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发

现问题的能力；通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决

解问题的能力． 3．情感、态度与价值观

通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立、统一的思想，培养辩证唯物

主义观，通过学习本节课让学生体验成功的愉悦，激发学习的兴趣．培养

学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

内容

1.2.1充分条件与必要条件

修改与创新

析、教

教学目标

1

重点：充分条件、必要条件的概念．

教学重、

难点

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．) 难点：判断命题的充分条件、必要条件。

教学

多媒体课件

准备

复习回顾：

复习命题的概念及四种命题的关系：

引入新课：

实例一：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但只有水够吗？

探究新知：

教学过程

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.

（2）

相似三角形对应角相等。

（3）若x=y,则x=y. （4）若x ＞ a + b，则x ＞ 2ab. 学生容易得出结论；命题(2)(4)为真命题，命题(1)(3)为假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

给出定义

命题“若p，则q”

为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地2222

2

保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq．

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p  q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

上面的命题(4)为真命题，即

x ＞ a + b

x ＞ 2ab，

所以“x ＞ a + b”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞

a + b”22

＂22 22 的必要条件．

运用新知：

例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x ＝1，则x

－ 4x ＋ 3 ＝ 0；

（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．（1）（2）是真命题，（3）是假命题，所以（1）（2）中的p是q的充分条件。

判断步骤：

①找出p、q; ②判断真假③根据定义下结论

当堂训练

1.用符号 

与

≠＞

填空.

（1）

x2=y2

＿

x=y；

（2）内错角相等

＿

两直线平行；

（3）整数a能被6整除

＿

a的个位数字为偶数；

（4）ac=bc

＿

a=b.

2. 下列若则形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件? （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行. （2）若x＞5,则x＞10. 例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? (1)

若x ＝ y，则x

＝ y；

(2)

若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； 2222

3

(3)

（3）若a ＞b,则ac＞bc．

分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．（1）（2）是真命题，（3）是假命题。所以（1）（2）中的q是p的必要条件

当堂训练

3.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？

(1)若a+5是无理数，则a是无理数； （2)若（x-a)(x-b)=0,则x=a. 4.判断下列命题的真假： (1)x=2是 x -4x-4=0的必要条件； (2)圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (3)sinA=sinB是A=B的充分条件； (4)ab=0是a≠0的充分条件. 能力提升

用集合的方法来判断下列哪个p是q充分条件，哪个p是q的必要条件? （1）p:菱形 q:正方形

（2）p: x>4 q: x>1 解：(1)由图１可知p是q的必要条件

(2)由图２可知p是q的充分条件

2

4

课堂小结

1.如果命题“若p，则q”为真命题，即p 

q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

2、方法收获

（1）判别步骤：

找出p、q 判断“p=>q”真假 下结论

（2）判别技巧

①否定命题时举反例 ②第二定义还原第一定义

作业P12 练习第1、2、3、4题

1.2.1充分条件与必要条件

板书设计

充分、必要的定义．

在“若p，则q”中，若pq，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．

学生对于充分条件和必要条件的理解，需要经过一定时间的体会，先给学生对于充分教学反条件和必要条件一个准确的规范表述，及对充分条件和必要条件进行判断的方法及步骤，思

教学中不急于求成，而在后续的教学中经常借助这些概念表达，阐述和分析数学问题。

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