实习作业 走进微积分教学评价实录

青铜峡市一中教学设计

授课教师：王彦文

课题

教学目标

走进微积分（教学设计）

课型

实习作业

选修1-1 第

分课时

时间

知识与技能：“实习作业

走进微积分”属于“数学文化”内容，让学生用ppt演示成果

过程与方法：让学生自己收集有关微积分的时代背景和有关人物的资料等，分组并进行交流。

情感态度与价值观：体会微积分建立在人类文化发展中的意义和价值，培养自主学习和交流合作的能力

重点：微积分创立的时代背景和有关人物的资料简介

教学重难点

难点：微积分的概念和古今中外的经典应用认识及举例

教法与学法

翻转课堂，教师主导，学生主体，

教

学

过

程

教学手段

多媒体辅助

一、实习作业的主要方式（教师主导）：

带着教科书上提出的问题，查阅资料，回答问题，教科书汇总列出了一些主要的、权威的参考书目，学生也可以借助互联网查阅资料，最后将查阅的资料进行汇总，以小组为单位进行交流和组间共享，完善实习报告，然后以小组的形式进行展示，并写出实习报告。最后由学生汇总，教师总结的方式完成本节课！

二、情景引入（教师引题）：

（看视频节选：誓言——引入课题数学生活，进而引出微积分）

由贾乃亮、秦昊等实力派演员主演的《誓言》就剧中对“兵棋推演”的再现来看，言少白烽火硝烟变成小棋盘上的“指点江山”，推演者充分运用统计学、概率论、博弈论等科学方法，对战争全过程进行仿真、模拟与推演，萧斯宇利用石子摆出攻防态势也让观众叹为观止：“原来这就是新时代战争中的军师联盟啊！

在数学史上，文艺复兴时期的欧洲数学是初等数学向近代数学跃进的一个转折点

，初步将数学分为：代数学，对数，三角学，微积分，期中微积分对近代数学，乃至当代数学和其他领域，都有巨大的作用，今天我们一起走进微积分，去了解微积分的神秘！

（教师用学生感兴趣的电视剧引入生活中的数学问题，进而引入微积分，将查阅的资料进行汇总，以小组的形式进行展示，并写出实习报告。在这个基础上，以小组为单位进行交流和组间共享，完善实习报告，）

三、小组展示，交流对微积分的了解（学生主体操作）：

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第一小组：数学史与微积分

（由解说员进行展示，在完成后其他小组可向该小组提出问题，进行解惑）

（部分摘录）函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它不仅是解决许多理论和实际问题应用十分广泛的有效工具，而且它为解决以“变”为研究对象的大量问题提供了一种深刻1

的思想方法，它还为大量后续课程提供了必要的方法和基础。在人类科学发展史上，没有任何学科比微积分的影响更深更广。

微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算，微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。

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第二小组：微积分的创立和发展

（由解说员进行展示，在完成后其他小组可向该小组提出问题，进行解惑）

（部分摘录）微积分的诞生，是全部数学史中的一个伟大的创举，追溯一下历史就可发现，早在微积分诞生之前的2000多年，就已经有了它的萌芽。以“直”代“曲”的极限观念，属于微积分的朴素思想。英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分，牛顿称之为“流数术理论”。德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分．莱布尼兹当时把微积分称为

“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中。

牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。

莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

评价：微积分在传授数学知识的同时,着力于提高学生的数学素养和能力,不仅为学生在今后工作中更新数学知识,学习现代数学方法奠定了良好的基础,而且培养了学生应用数学知识解决实际问题的意识、兴趣和能力。

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第三小组：微积分的创始人

（由解说员进行展示，在完成后其他小组可向该小组提出问题，进行解惑）

（部分摘录）牛顿于1643年1月4日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村。1661年入英国剑桥大学圣三一学院，在1665年他发现了二项式定理，1665年获文学士学位。他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。笛卡尔的解析几何把描述运动的函数关系和几何曲线相对应。牛顿在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔的解析几何的基础上，找到了新的出路。可以把任意时刻的速度看是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值，当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值。这就是微分的概念。

戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分思想的论著。只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。

牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法来研究微积分；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积问题上，运用分析方法引进微积分的概念。他们各有特点，牛顿在微积分的应用方面处理得较好，主要结合运动学．莱布尼兹对表达形式所采用的符号运用得较好。

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第四小组：历史上有关微积分思想的代表性工作

（由解说员进行展示，在完成后其他小组可向该小组提出问题，进行解惑，利用信息技术和实体模板进行演示成果）

（部分摘录）古代的人民用方砖砌圆、我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”、魏晋时刘徽的“割圆术”，祖恒原理，等等，都涉及到微积分的朴素思想。

（几何画板演示割圆术）

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数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。

牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。

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第五小组：微积分的时代背景及应用领域

（由解说员进行展示，在完成后其他小组可向该小组提出问题，进行解惑）

（部分摘录）由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，有四种主要类型的问题：①求瞬时速度②求曲线的切线③求函数的最值④求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。

笛卡儿于1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡儿打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。虽然这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

四、微积分产生的历史意义及说明（师生总结）：

（一）学生总结：

通过让学生（鼓励起立说自己的收获的方式）总结这节课的收获，体现这节课的价值和作用，鼓励学生好好学习，争做为祖国做贡献的学者！

（二）教师结尾：

微积分的产生具有深远的历史意义：

一方面，它极大地推动了数学科学的发展，以微积分为基础的数学分析科学得到了空前发展，建立了多种数学分3

支，如大学里将要学习的：微分方程，积分方程，复变函数，实变函数，泛函分析，微分几何，拓扑学等，

另一方面，微积分在力学，天文学以及物理和其他科学技术

的运用，极大地促进了以上科学的发展

微积分创立的时代背景和历史意义充分说明：

数学来源于生活又反过来作用于生活；数学中普遍存在着对立统一，运动变化，相互联系，相互转化；数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分！

五、板书设计：

走进微积分

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数学史与微积分

微积分的创立和发展

微积分的创始人

历史上有关微积分思想的代表性工作

微积分的时代背景及应用领域

课堂作业

完成实习作业

课后反思

这节课是文科选修1-1中的一个实***时在教学过程中很少实施和上这样的课，所以经验比较少，存在的问题比较多，以下是我对这节课的一个反思：

优点：

1、

整个课堂环节比较完整，学生能够在每个环节展示自己的任务和意图。

2、

课堂氛围比较融洽，在上课过程中，调动了学生的积极性，从而使学生从枯燥的数学课堂中解脱出来，用真正的兴趣学习微积分的相关内容，

3、

自己能够把握课堂重难点，能够在了解的基础上让学生认识到这节课的重要性和作用，

4、

通过这节课，也比较完整的应用了翻转课堂的模板，让学生成为课堂的主人，教师主导完成上课的目的。

5、

整个课上完，也基本达到了预期的效果，让学生通过每个小组的展示，认识和了解了微积分在数学生活的中作用和重要性，以及应用！

缺点：

1、

在整个课堂中，我自己有些许紧张，导致语言描写不太精准，教态不太大方。

2、

学生由于是视频课，也是有点紧张，自然度不够，导致能力发挥的不太出色，平时要比这个好很多。

3、

在教学过程中，我自己对微积分生活中的应用知识掌握的不够详细，有的学生说出来的我都不知道，

4、

学生在总结和搜集资料的时候太依赖网络，对图书馆的应用不够，对伟大数学家的作业认识还是比较浅薄，这与学校图书馆的不健全也有关系。

针对以上，我觉得，对于以后的翻转课堂，必须在教态和课堂熟悉上要下功夫，不能在课堂上紧张和出现语言性错误，而且在学生搜集资料的时候就要引导，且自己在课下也要搜集大量的资料，来补充和纠正学生所搜集的资料。从而让学生有方向感和主心骨感，也能够认识到现在的学生对图书的利用比较少，对知识的搜集比较单一，要让学生从枯燥的数学课堂中走出来，真正让学生成为课堂的主任，发散有创新的学习数学。也要让学生对老一辈数学家熟悉，数学数学历史，熟悉为什么学数学，学数学有什么用，真正的让学生知道，学以致用的道理！

课后反思

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