2.3 抛物线（通用）优秀教学设计说课稿

§2.3.1 抛物线及其标准方程

【学情分析】：

学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。

（2）过程与方法：

在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。

（3）情感、态度与价值观：

培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。

【教学重点】：

抛物线的定义和抛物线的标准方程。

【教学难点】：

（1）抛物线标准方程的推导；

（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。

【课前准备】：

Powerpoint或投影片

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

一、复习引入抛物线的定义

1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（F1F22a）的点的轨迹.

2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（F1F22a）的点的轨迹.

3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是

椭圆

，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？

抛物线的定义：平面内与一个

定点

和一条

定直线l

的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的

焦点

，直线l叫做抛物线的

准线

．

学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。

如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．

p，2设KFp(p0),则焦点F的坐标为（0），准线的方程为xp．

2设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．

由抛物线的定义，抛物线就是点的集合

PMMFd．

∵MF

二、建立抛物线的标准方程

pp2xy；d=．

x2222pp∴xy2＝x．

22化简得：y22px(p0)．

注：y22px(p0)叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的

正半轴，坐标是pp，准线方程是．

x，022

探究：还有哪些不同的建立坐标系方法求抛物线的标准方程？

根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。

通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。

探究：

抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。

例1

求适合下列条件的抛物线的标准方程

(1)过点(-3,2)；

(2)焦点在直线x-2y-4=0。

分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。

解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得2p4或2p9。 32

∴所求的抛物线方程为y24x或x29y

32

（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.

∴抛物线的焦点为F(0,-2). 设抛物线方程为x2=2py。则由p2得2p8, 2∴所求的抛物线方程为x2=-8y 或令y=0由x-2y-4=0得x=4, ∴抛物线焦点为Ｆ(4,0) . 设抛物线方程为y2=2px。则由p4得2p16, 2∴所求的抛物线方程为y2=16x

注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。

例2 已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。 (1)y2=6x； (2)y=ax2. 分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。

解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为F3,0,准线2方程是x3.

2（2）将抛物线方程化为标准方程x211p1，则焦点坐标为1，y,2p,.F0,aa24a4a4a三、例题讲解

准线方程为y1.

例3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值。

为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。

解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px (p>0),则m26pp焦点F,0.，由题设可得，2.2p2m352p4或解之得

m26p4m－26.故所求的抛物线方

程为y2=-8x，ｍ的值为26

（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴p2,∴p=4，2故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为26

1．选择：

⑴若抛物线y2=2px (p<0)上横坐标为-6的点到焦的距离是10, 则焦点到准线的距离是

(B ) A、4

B、8

C、16

D、32 ⑵过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x26,那么AB等于

(B)

A.

10

B.

8

C.

6

D.

4 ⑶已知点A(3,4),F是抛物线y28x的焦点,M是抛物线上的动点。当MAMF最小时，M点的坐标是

( C ) A. (0,0)

B. (3,26)

C. (2,4)

D. (3,26)

2．填空：

⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是6,62；

⑵

抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a>p），则点M到准线的距离是_a_，点2p．

2四、巩固练习

M的横坐标是a四、巩固练习

3．

(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．

标准方程。

线的标准方程是x2=－8y．

4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。

分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。

又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。

解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且

∴所求的抛物线方程为y2=16x.

1. (浙江)函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B ) (A) 2111 (B) (C) (D)1 8422五、课后练习

2. （上海）过抛物线y4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）

(A) 有且仅有一条 (B)有且仅有两条

(C) 有无穷多条 (D)不存在

3. 抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点 根据学生情况分层布置作业。

A与抛物线焦点的距离为(D ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4 .（江苏卷）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B) 17 (A) (B) 15 (C)7 (D) 0 161685．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：

分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况

解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：

y2＝2px或x2＝－2py．（如图）

点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝29

2点A（2，－3）坐标代入x＝－2py，即4＝6p，得2p＝4

3∴所求抛物线的标准方程是

y2＝94x或x2＝－y 23

6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．

分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准2线的抛物线．所求方程是y＝16x．