复习参考题课件配套优秀教案设计

《斜率之积为定值的问题探究》教学设计

湖北省黄石二中 肖

潇

一、教学设计

1.教学内容解析

解析几何是中学数学的主干知识之一,它在高考数学试题中所占的分数比例约是百分之二十。考查要求包含了从“了解”到“灵活运用”的各个层次。纵观近几年高考数学大纲卷中的解析几何试题,具有突出考查主干知识,注重通性通法的同时适度创新的特点,多数题目源于教材又高于教材,基于以上分析，以及小题注重定义性质考查的基础上，设计了本微专题，以课本例题为原型，探究其性质，旨在提高同学在解决与斜率相关的小题的解题速度以及快速找到相关大题的解题思路。 根据以上分析，本节课的教学重点确定为：

教学重点：斜率之积为定值的结论

2.学生学情诊断

班级同学基础较好，已经学完了高中全部的新课进入一轮复习，已基本掌握本章节的重要基础知识和基本方法，但是存在一些问题如：想不到，消不去，算不对等问题，因而本节课从利用课本例题出发回顾解析几何常用的点差法，设而不求的计算技巧，并归纳总结出一个常见结论。

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：

教学难点：结论的应用

3.教学标准设置

（1）通过课本探究，学生能系统掌握用点差法推导结论，能灵活运用结论解决相关问题. （2）通过情景设置,有效的激发学生的学习兴趣, 让学生从数和形两个角度感受数学的优美性.通过问题的探究，进一步渗透特殊到一般思想、类比思想、归纳思想 . （3）培养学生归纳知识、应用知识的能力,培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 4.教学策略分析

本节课是一轮复习探究课，教学容量较大，学生参与度高，采用多媒体课件辅助教学，进一步提高课堂效率，调动学生的学习积极性.在教法上面采用着重于学生探究的启发式教学方法,结合探究进行结论的归纳. 教学流程图

创设情境

→→

→

回归课本

→

性质探究

→

直击考题

→

内化性质

二、课堂实录

（1）创设情境

x已知椭圆C:+y2=1，点M1,M2,22yP2P4P6P8,M5为其长轴AB的6等AP11 P10BxOP3P5P7P9

分点，分别过这五点作斜率为k(k0)的一组平行线，交椭圆C于点P1,P2,条直线AP1,AP2,,P10,则这10,AP10的斜率的乘积为

．

设计意图：引出课题，使学生对本节课优美性质的探讨产生强烈期待。

（2）回归课本 性质探究

（引例1）课本2-1 41页

例3 设点A,B的坐标分别为(-5，0),(5，0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是-

4，求点M的轨迹方程. 9（引例2）课本2-1 55页

探究

设点A,B的坐标分别为(-5，0),(5，0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是4，求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形9状.与2.2例3比较，你有什么发现？

（引例3）课本2-1 80页

A组第10题

已知ABC两个顶点A,B的坐标分别为(-5，0),(5，0)，且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m0)，试探求顶点C的轨迹.

设计意图：以课本题为载体，让学生重视课本，为后面的结论引路。

（3）合作探究

得出结论

问题1：已知AB是圆O的直径，点P是圆O上异于A，B的两点，直线PA，PB的斜率分别为k1、k2，则k1k2的值为多少？ x2y2问题2：（类比迁移1）椭圆2+2=1(a>b>0)的长轴顶点与椭圆上除这两个顶点ab外的任一点连线斜率之积是否为定值？

x2y2问题3：（类比迁移2）双曲线221(a0,b0)的实轴顶点与双曲线上除这两ab个顶点外的任一点连线斜率之积是否为定值？

y问题4：（引申拓展1）设 A、B是椭圆xy+=1(a>b>0)上a2b2OA22B关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，则k1k2是否为定值？并给予证明．

xPx2y2问题5：（引申拓展2）设

A、B是双曲线221(a0,b0)上ab关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PByPOABx2

的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．

让学生自主探究推导，然后合作交流，再用几何画板演示。

设计意图：让学生在互动交流探讨中，强化点差法的运用，得出结论，再在“几何画板”的实践中得到证实，体会知识的探索过程，提高学习的热情。

x2y2结论1：若 A、B是椭圆上2+2=1(a>b>0)关于原点对称的两点，点P是该椭圆abb2上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，则k1k2=-2

a；x2y2结论2：若 A、B是双曲线上2-2=1(a>0,b>0)关于原点对称的两点，点P是该abb2双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，则k1k2=2a；

（4）例题示范

直击高考

例1（2019全国卷II,理21改编）已知点 A(−2,0), B(2,0)，动点 M(x,y) 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为-1，记 M的轨迹为曲线 C． 2（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交 C 于 P, Q 两点，点 P 在第一象限，PE ⊥ x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.证明：△PQG 是直角三角形. yy1x2y2，化简得1(|x|2)，

解：（1）由题设得x2x2242所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）分析：设P(x0,y0)，则Q(x0,y0)，E(x0,0)，则kGQkEQy01kPQ，

2x0211b212，即kGPkPQ

22a2又由结论1知kGPkGQkGPkPQ1，GPPQ，即△PQG是直角三角形．

解法二：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)．

设P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)．于是直线QG的斜率为kk，方程为y(xu)．

223

ky(xu),222222由2得(2k)x2ukxku80．①

2xy142u(3k22)uk3设G(xG,yG)，则u和xG是方程①的解，故xG，由此得yG．

222k2kuk3uk212k从而直线PG的斜率为．

2u(3k2)ku2k2所以PQPG，即△PQG是直角三角形．

设计意图：运用结论1迅速找到切入点，达到迅速解题的目的，前后呼应。同时通过投影学生解题过程强调解答题应用时要写出过程的推导。

（5）提升训练

巩固性质

x21、已知椭圆C:+y2=1，点M1,M2,2y,M5为其长轴AB的6等分AP2P4P6P8P10BxP9点，分别过这五点作斜率为k(k0)的一组平行线，交椭圆C于点OP1P3P5P7P1,P2,,P,则这10条直线AP101,AP2,,AP

10的斜率的乘积为

．本练习请学生讲解

设计意图：检测学生对结论的掌握情况，并通过师生角色互换，交流解题思路，进一步帮助同学们灵活运用两个结论。

2、如图，PQ是椭圆不过中心的弦，A1、A2为长轴的两端点，A1P与Q A2相交于M，P A2与A1Q相交于点N，则MN⊥A1A2．

x2y23、已知椭圆C:221(ab0)的左右焦点分别为abF1(1,0),F2(1,0)，且椭圆上存在一点M,满足|MF1|(1)

求椭圆C的标准方程；

14，F1F2M120. 5(2)

已知A、B分别是椭圆C的左、右顶点，过F2的直线交椭圆C与P、Q两点，记直线AP、BQ的交点为T,是否存在一条定直线l,使点T恒在直线l上？

4

2、3小题为课后习题. （6）反思小结

内化性质

本节课学到了哪些？由学生完成，教师补充．

（1）圆锥曲线中一类斜率之积为定值的性质；

（2）从特殊到一般，探究—类比—证明解决问题的思考方法.

设计意图：学生在谈收获的同时，加深了对结论的辨析及结论的形成规律，从而形成了自觉内化的意识．

（7）课后拓展

激发兴趣

探究1：已知AB是圆O的弦，点P是弦AB的中点，直线OP，AB的斜率分别为k1,k2，

则k1k21，猜想并验证：

x2y2若AB是不过椭圆2+2=1(a>b>0)中心的弦，点P是弦AB的中点，直线OP，ABab的斜率分别为k1,k2，则k1k2是否为定值？

x2y2若AB是不过双曲线2-2=1(a>0,b>0)中心的弦，点P是弦AB的中点，直线OP，abAB的斜率分别为k1,k2，则k1k2是否为定值？

探究2：已知直线L为圆C的切线，切点为P，且直线L与直线CP的斜率分别为k1,k2则k1k21，猜想并验证：

，

x2y2直线L为椭圆2+2=1(a>b>0)的切线，切点为P，且直线L与直线OP的斜率分ab别为k1,k2，则k1k2是否为定值？

x2y2直线L为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的切线，切点为P，且直线L与直线OP的ab斜率分别为k1,k2，则k1k2是否为定值？

设计意图：通过思考题，进一步内化学生的认知结构，激发学生由圆探讨圆锥曲线的相关性质；培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣．

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三、教学反思：

通过本节课的教学实践，对《新课程标准》“倡导积极主动、用于探索的学习方式”有了更进一步的认识，教师充当导游的身份，在教学过程中由课本题为导火线精心创设了一个简洁，有趣的探索数学的环境，让学生动态地串知成链，同时充分体现了学生的主体地位，发挥了活动课寓教于乐的优势，极大的激发了学生类比圆研究圆锥曲线的兴趣，为后续探讨起到较好的的铺垫。

可取之处：一是教学设计新颖，以对称优美的数学问题导入引入课题，并通过课本题提炼结论将整个课堂串接起来，体现了高考题来源于课本的特点，让学生重视课本；二是本节课采用讲练结合完成教学目标，在不断生成问题和解决问题的过程中引导学生完成知识结构体系的建构；三是突出学生为主体，展示学生的解题过程，要求规范书写，学生讲解巩固练习，通过师生角色互换增强学生的自信心. 改进之处：由于时间关系，在这堂课中只完成了知识结构体系中的一个结论，余下的结论作为课后思考在后续的课程中学习，没有时间去梳理结论的易混点、易错点（如焦点在y轴的），若时间充裕，可考虑布置一定数量的小题让学生在解题的过程中加以区分．

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