复习参考题教案和学案内容

高三复习小专题

多面体的外接球

东莞市厚街中学 庾用剑

班级________ 姓名________ 学号____ 一、考情分析

1.多面体的外接球问题是近年来全国高考的热点与难点，考试的频率较高，但得分率较低。主要原因在于学生的空间想象力不强，以及没有掌握一定的解题方法。

2.多面体的外接球问题既考查了多面体的几何性质，又考查了球的几何性质，还考查了平面几何中多边形的外接圆等知识，在知识的交汇点处命题，充分体现了高考考纲中的能力立意的要求。

二、复习目标：

1.知识与技能：掌握求常见特殊多面体的外接球的半径、表面积与体积的方法。

2.过程与方法：

通过相关知识的自主复习，让学生清楚这类问题的考点和解决问题的关键点。

通过小组合作探究、分组展示、教师及时点拨的方式解决求常见特殊多面体的外接球的半径、表面积与体积等问题。

通过变式教学提高学生发散思维能力。

3.情感态度价值观：

通过本节课的学习让学生进一步学会合作与分享，勇于表达自己的看法与见解。

通过对学生发散思维的培养，增强学生分析问题、解决问题的能力。

三、教学重点与难点：

如何确定多面体外接球的球心位置及如何求外接球的半径。

四、复习过程

（一）自主复习

1.球的体积公式为 . 2.球的表面积公式为 . 3.球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．球心与截面圆圆心的连线与截面圆______. 4.球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的半径r有以下关系： ．

5.矩形的外接圆圆心是_____. 正三角形的外接圆圆心是____. 直角三角形的外接圆圆心是________. 6.正三角形的边长为a，则其外接圆半径r=____. （二）自主探究

1.探究一：特殊棱柱的外接球问题

（1）长（正）方体的外接球问题

你能确定下面长方体的外接球的球心位置吗？

你能写出长方体的外接球的半径R与长方体的长a、宽b、高c的关系式吗？

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____________________________________. 你能画出球内接长方体的直观图吗？

（2）正三棱柱的外接球问题

如图，在正三棱柱ABCABC中，

你能确定其外接球球心的位置吗？

若ABa,AAb，你能用a,b表示其外接球的半径长R吗？

___________________________________. 你能否画出球内接正三棱柱的直观图？

（3）上下底面是直角三角形的直三棱柱的外接球问题

如图，在直三棱柱ABCABC中，ABBC, 你能确定其外接球球心的位置吗？

方法一：

方法二：补体法

若ABa,BCb,AAc，你能用a,b,c表示外接球的半径长R吗？

___________________________________. 2.探究二：特殊三棱锥的外接球问题

（1）正三棱锥的外接球问题

你能大致确定正三棱锥PABC的外接球球心的位置吗？

如果正三棱锥PABC的底面边长为a，侧棱长为b，你能用a,b表示其外

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接球的半径长R吗？

___________________________________. 你能否画出球内接正三棱锥的直观图？

（2）底面是正三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球问题。

如图，在三棱锥PABC中，ABC是边长为a的正三角形，侧棱PA底面ABC，PAb. 你能确定该三棱锥外接球的球心位置吗？

方法一：

方法二：补体法

你能用a,b表示其外接球的半径长R吗？

___________________________________. （3）正四面体的外接球问题

什么叫正四面体？

如何确定正四面体的球心位置？

方法一：

方法二：

方法三：补体法（借助正方体外接球）

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拓展：利用补体法还可解决以下三棱锥的外接球问题：

a.共定点的三条棱两两互相垂直的三棱锥（古称“墙角”），如图所示。

b.三个面都是直角三角形的棱锥（古称“鳖臑”）

如图所示.

C.三组对棱均相等的三棱锥. 三组对棱均相等的三棱锥恰好是长方体的三组面对角线构成的几何体，故它的外接球即为相应长方体的外接球。如图，在三棱锥BACD中，ABCD,BCAD,ACBD.试确定其外接球的球心位置。

（显然，正四面体是其中的特殊情形。）

若正四面体DABC的棱长为a，则其外接球的半径长R=__________. （4）有两个面是共斜边的直角三角形的三棱锥

如图，在三棱锥PABC中，

ABBC,ADCD,你能确定该三棱锥外接球的球心位置吗？

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3.探究三：特殊四棱锥的外接球问题

（1）正四棱锥的外接球

什么叫正四棱锥？

如何确定正四棱锥的球心位置？

若正四棱锥PABCD的底面边长为a，侧棱长为b，你能用a,b表示其外接球的半径长R吗？

___________________________________. ④你能画出球内接正四棱锥的直观图吗？

（2）底面是矩形或正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥（古称“阳马”）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA面ABCD. 你能确定它的外接球球心位置吗？

方法一：

方法二：补体法

若ABa,BCb,PAc，你能用a,b,c表示其外接球的半径长R吗？

___________________________________. （3）底面是矩形，一个侧面是正三角形，且该侧面垂直于底面。

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD面ABCD,且PAPBAD. 你能确定它的外接球球心位置吗？

方法一：

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方法二：补体法

若ABa,ADb,，你能用a,b表示外接球的半径长R吗？

___________________________________. （三）自主小结

通过探究，我们掌握了确定特殊多面体外接球球心位置的两大方法

方法一：

方法二：

（四）自主练习

1.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面9上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 . 82.已知点A、B、C、D在同一个球面上，

AB平面BCD，BCDC，若

AB6,AC=213,AD=8，则B、C两点间的球面距离是 . 备注：球面距离是指过B、C两点的大圆的劣弧长. A、BC、D、都在同一球面上，3. 正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、则此球的体积为 . 4.在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为 .

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