习题4.2优质公开课教案

高一数学必修2第四章《圆与方程》复习习题课教案

执教老师：福建省永春华侨中学 赵炳川

指导老师：福建省永春华侨中学 谢雅礼

一、教学目标

1、进一步巩固直线、圆、抛物线的有关知识。提高综合运用知识解决问题的能力。

2、渗透数学的思想方法，通过一题多解，提高学生思维的灵活性、广阔性和深刻性。

3、引导学生观察发现、联想构造，让学生体验研究数学的思想方法，品尝探究发现成功的喜悦，通过实际问题的解决，让学生认识到数学知识大有用场，从而激发学习研究数学问题的热情，，培养良好的学习习惯。

二、学情分析

1、优势方面：所任教的班级学生基础较好，能力较高。在前面的学习中，已经熟悉掌握了直线、圆、抛物线的有关知识，具备一定的发现提出问题及独立思考的能力、合作交流的意识，有科学探究的欲望、一定的合作研究问题的能力，渴望进行更深一步探究。

2、不足方面：学生的语言表达能力、自主发现提出新问题的能力、思维品质等有待加强培养和提高。

三、重点难点

1、启导学生独立发现新问题、解题思路和方法；

2、培养学生创新思维能力以及灵活、综合运用知识解决问题的能力。

四、教学理念

面向全体，巩固所学知识，建立有效的知识系统，形成良好的认知结构，提高发现、提出、分析、综合运用知识解决问题的能力和科学素养，培养交流合作和应用意识、创新精神和实践能力，发展思维能力和个性品质，激发学习兴趣，树立学习自信心，掌握科学的学习方法，养成良好的学习习惯。

一堂优质高效的数学复习课，既是学生回顾并应用所学知识，又是学生对数学知识认知的深化，更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高。

五、教学过程

师：同学们！探究是数学教学的生命线！这就要求我们在学习中要善于试验发现、善于观察比较、善于联想构造、善于质疑提问、善于类比猜想、善于求异创新、善于分析思考、善于归纳总结。

今天我们来共同探究几个与圆有关的问题. 前面已叫大家去思考, 这节课我们来交流研究成果, 探讨和解决存在的有关问题.希望大家在分享别人的解法时积极发表自己的想法。

师：下面请看第一题：探讨关于x的方程x12axa250的实数根个数的情况？你们是422怎样解的？

生1：因方程未知数只有4次与2次项，可令yx2，化为y212aya240，再用判别式△判断根的情况. 当△>0时，有两个不同实数解，有4个不同实数根；

当△=0时，y有两个相同实数解，有2个不同实数根；

当△<0时，y无实数解，无实数根；(投影仪显示学生做的)

师：有无不同想法的？

生2：还要注意yx0，当y0时无实数解！所以应分为几种情况讨论再进行综合：

当△>0且y1>0，y2>0时有4不等实根；当△>0且y1>0，y2=0时有3不等实根；

当△>0且y1>0，y2<0时有2不等实根；当△=0且y1=y2>0时有2不等实根；

当△=0且y1=y2=0时有1个实根；当△=0且y1=y2<0时无实根；当△<0时无实根

·······(投影仪显示学生做的)。

师：不错！其实这是初中时用的解法，虽然严密，但情况多，较繁杂！请认真观察，还有什么发现？

422生3：发现x2axa是完全平方式，因此可化为xxa22224。

师：很好！大家看，这个方程与什么有点类似？

生3：与圆的方程类似但又不符！

2师：与圆的标准方程xaybr比较发现区别在哪？。怎么办呢？(PPT显示) 22生：只要设x=y即可。

yx师：这样就转化成求2222的解的情况,即抛物线与圆的交点情况！抛物线和圆的半径确定，x(ya)4圆心M(0，a)在y轴上运动，请看屏幕，当圆心M从上到下运动时，抛物线和圆的交点如何变化？

(几何画板显示)

yyyy

yyy

a

aa

aO

xOxxOOxxxOOOaa

a

生：从0个交点变为2个交点、4个交点、3个交点、2个交点、1个交点、0个交点，其中2个交点、

3个交点、1个交点是分界点，只要求出这三个特殊位置即可。

师：好，请大家写出解答过程，一人板演。

师：(巡视后简评)

师：再看第二题已知圆C：x2y22x4y20，直线L:2m1xm1y7m4, （1）判断直线L和圆C的位置关系；

（2）直线L被圆C截得的弦AB的长为整数的共有多少条？

对第⑴小题你们是怎样做的？

2生1：我是先把⊙C化为x1(y2)25，再计算圆心到直线的距离

2x

d2m12(m1)(7m4)(2m1)(m1)223m15m6m22，

觉得复杂且难以判断d与半径5的大小关系。(投影仪显示学生做的)

生2：显然直线的斜率是变化的，可以考虑是否过一定点P？

师：有道理，那怎样证明它一定过定点？

生3：m可取两个特殊值m=0，-1，得到其中两条特殊直线，求出其交点P(3，1)，再把P代入L的方程，刚好适合；

师：好，方法简单，有没有不同方法的？

生4：发现直线方程是相交直线系方程。会过两直线的交点。

师：怎么求呢？

生4：直线L化为x+y-4+m(2x+y-7)=0，

直线L过l1:xy40和l2:2xy70的交点, xy40

得

2xy70x3

所以直线L过定点D（3，1）

y1

∵CD=(3-1)+(1-2)=5<25,即CD<5，∴D在圆内，则直线直线L和圆

C相交.

(投影仪显示)。

师：好！直线L被⊙C截得的弦AB的长为整数的共有几条？

生：因直线可绕定点P旋转一周，只要求出其中最长和最短的即可。

师：显然最长的弦是直径A1B1=10，最短的弦A2B2⊥CM, A2B2=45。

师：那长为整数的有几条？

生：弦长的整数值9,10,共2条。

师：这个结论正确吗？

生：弦长为9的有2条,总共3条。

师：大家一定要小心谨慎。

师：最后我们来研究第三题：若实数x,y满足y32xx2, 求

⑴222y3, ⑵x2y22x2y的最大值和最小值。

x52y32xx师：对已知条件大家有什么想法？

22生1：两边平方化为:y32xx，x1y25,因为y0，所以它表示一个半圆C 2师：怎样求y3的最值？这个式子有何特点？与什么有关？

x5生：过两点的斜率公式。

师：哪两点？

生：可变ky(3), 它表示过Ax,

y与B(5，3)的直线的斜率。

x(5)师：设斜率为k，问题就转化为：已知A(-5，-3)和半圆C上的动点B(x,y)，求k的最值，怎样求？

生：因为A固定，B(x,y)在半圆上运动，在运动过程中可发现当直线AB过E(1，0)时k最小，当AB与半圆C相切时k最大。

师：很好，请大家写出解答过程，一人板演。

师：(巡视，简评：停！大多数同学已经做好，我们来看一下这位同学做的,做得很好！)。

刚才直线是绕定点旋转求斜率k的最值，除了旋转直线还有一种特殊运动是？全班：平移！师：你们能根据直线平移运动提出一个新的问题吗？生：求x-y的最值。

师：好！假设x-y=t,则y=x-t这是斜率为1、在y轴上的截距为-t的动直线，当直线过E时-t最小，t最大；当直线与半圆相切时-t最大，t最小。

师：下面研究第⑵小题：如何求xy2x2y的最值？你想到什么？

生：这个式子与圆的方程有关！

师：但圆的方程含有等号，这个式子没有等号，它不是方程，怎办？

生：设x2+y2-2x+2y=S，化为(x-1)2+(y+1)2=S+2，

表示圆心F(1，-1),半径为S2的圆。

22y-3-11ExDCO

-1)F(1,师：那半圆C与圆F有什么关系？

生：圆F中的x,y就是半圆C中的x,y，因此半圆C与圆F必须有公共点，否则没有意义！

师：有道理！既然x,y是公共的，半圆C与圆F须有公共点！

请看屏幕，在有公共点条件下，让半径S2变化，何时S最大、最小？

生：当圆F过E时半径S2最小，S最小；当圆F与半圆C内切时，

y半径S2最大，S最大；师：很好，请大家写出解答过程，一人板演。

师：(巡视，简评：我们来看一下这位同学做的怎样,简单规范，

挺好！还有新的想法吗？)。

学生回答完后，教师用屏幕PPT显示：

下面我们总结一下：在发现一个数学问题以后，要做的就是通

过认真观察，并进行构造联想，最后证明猜想，从而解决问题。

数学探究活动——观察、发现、联想、构造、转化、严密、运

动、关系、变化、数形结合、……) ㈢课后作业部分

1、已知：y32xx2, 求x2y的取值范围. 2、P在以AB为直径的半圆上，AB8,

AD6，BC12，AB90，

问：P在何处凹五边形ABCPD面积S最大？

3、曲线T：yx26x1与两坐标轴的交点都在圆C上。

⑴求圆C的方程；⑵若直线L：xya0交圆C于A,B,

①若ABC为锐角三角形,求a的取值范围; ②是否存在实数a，使OAOB？

DP

-3-11ExDCO

-1)F(1,

C126AOB

六、教学设计说明

数学复习课是重要且最难上的一种课型,目前大多是知识点的简单再现和面面俱到地讲解大量的类型题,这种题型复习法走入“对号入座、机械模仿”的误区,造成教师辛苦、学生痛苦、高分低能、厌恶数学等不良后果。笔者采取“精心设计探究性问题、巧妙引导学生探究”的探究式复习法,打造出优质高效的数学复习课,有效改变了传统题型复习法“只为考试而复习”的教学现状,在实践中取得显著成效.

本节课以问题研究和学生活动为中心,通过:⑴创设思维情境启导学生自然地联想到直线、圆的有关知识,独立发现解题的思路;⑵一题多解;⑶师生合作交流;⑷鼓励学生提问题;⑸让学生总结和反思等把

直线、圆及抛物线的有关知识融入到4个探究性问题的解决过程中,为学生的发展搭建了一个广阔的舞台,学生善于发现提出问题,能突破思维定势,从不同角度进行大胆探索,课堂换发生命活力!体现学生是学习的主人,教师是引导者、合作者、激励者的理念.

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