习题3.3教学设计(教案)

直线间的对称问题教学设计

一、

教学任务分析

学生已经有的相关知识是：中心对称与轴对称，直线方程，两直线的平行与垂直，并且经历了建立这些公式，解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法。这一节课的任务是：给出两点求对称点，点线之间对称，线线之间的对称，从学生已有的知识看，可以把线线之间的对称转化为点线之间的对称问题，从而完成任务。 二、

教学目标：

理解掌握对称的含义及数量关系，正确处理对称问题，渗透数形结合思想和培养逻辑思维能力

三、

教学重难点

重点：两直线间的对称关系. 难点：轴对称问题. 四、

教学过程：

提出问题→分析任务，选择方法→合作交流，解决问题→反思解决问题的过程→总结解决问题的方法

五、

教学情境设计

1、

教师帮助学生回忆中点坐标公式：

已知点P1(x1,y1), P2(x2,y2)则P1P2中点坐标(x1x2y1y2,)

22帮助学生总结点关于点的对称点问题

进一步提出线关于点的对称线，给出例题，让学生通过数形结合，分析问题，理清思路，解决问题

例1已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

解析：

(1)设A′(x，y)，再由已知

y＋22x＋1·3＝－1，x－1y－22×－3×＋1＝0.2233x＝－13，解得4y＝13.

334∴A′－13，13. (2)在直线m上取一点，如M(2,0)，

则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．

a＋2b＋0＋1＝0，2×－3×22设对称点为M′(a，b)，则b－02a－2×3＝－1.

630解得M′13，13. 2x－3y＋1＝0，设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．

3x－2y－6＝0.又∵m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0. (3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，

∵P′在直线l上，

∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0. 通过例题进一步提出点关于线的对称点与线关于线的对称线的问题，让学生进一步应用数形结合的方法，观察图形解决问题

2、

利用点线之间的对称解决最值问题：差的最大值与和的最小值

给出例题

例2在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．利用数学结合找出解决问题的方法

解析：

设B关于l的对称点为B′，AB′与l的交点P满足(1)；C关于l的对称点为C′，AC′与l的交点P满足(2)．事实上，对(1)，若P′是l上异于P的点，则

|P′A|－|P′B|＝|P′A|－|P′B′|＜|AB′|＝|PA|－|PB′|＝|PA|－|PB|；

对于(2)，若P′是l上异于P的点，则

|P′A|＋|P′C|＝|P′A|＋|P′C′|＞|AC′|＝|PA|＋|PC|.

(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，

则kBB′·kl＝－1，

b－4即3·a＝－1. ∴a＋3b－12＝0.①

ab＋4，且在直线l上，

又由于线段BB′的中点坐标为，22ab＋4∴3×2－2－1＝0，即3a－b－6＝0.②

解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．

y－1x－4于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0. 3－13－4

3x－y－1＝0，x＝2，解得

2x＋y－9＝0，y＝5.即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．

∴点P(2,5)即为所求．

324(2)如图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为5，5. ∴AC′所在直线的方程为

19x＋17y－93＝0，

1126AC′和l交点坐标为7，7，

1126故P点坐标为7，7. 3、评价反思

对本节课的学习，学生掌握了利用解析法解决平面中点线之间的对称问题，熟练的应

用了数形结合的方法，对于学生计算中的不足，应在以后加强练习。