1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）名师教学视频（文字实录）

“空间几何体的体积”的教学设计

一、教材分析：

本课教学的主要内容是柱、锥、台体及球的体积计算公式及应用。由于学生对长方体的体积计算公式已经比较熟悉，因此教学时可结合长方体体积计算公式及祖暅原理类比推导柱体的体积计算公式，并通过分析柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体、台体、球体的体积之间的关系，体会“数”与“形”的完美结合。

一、教学目标：

1、知识与技能：

（1）、了解锥体的体积可以通过柱体的体积求得，台体的体积可以通过锥体的体积获得；

（2）、了解球的体积公式；

（3）、理解球的面积公式及探求球面积的“积分”思想，通过“准棱锥”的介绍，让学生体会“无穷”、“极限”的思想；

（4）、能运用公式求解有关体积计算问题。

2、过程与方法：通过探究、思考、抽象，培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力。

3、情感、态度、价值观：

（1）、通过“祖暅原理”的介绍培养学生的爱国热情和民族自豪感；

（2）、通过柱、锥、台体体积公式的推导，进一步使学生明确数学概念的来龙去脉，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性以及数学中的和谐美。

二、教学重点、难点：

1、教学重点：柱、锥、台、球体的体积公式及其应用；

2、教学难点：（1）、柱、锥、台体积之间的联系；

（2）、球体积与表面积的推导过程；

（3）、运用公式解决有关问题。

三、教学模式：问题探究式

四、教学准备：多媒体课件

五、教学过程：

教师活动

[问题引入]

[问题一]：如果一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的体积是什么？

能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？

[问题二]：桌面上放有一堆书，改变一下形状，底面积和高有没有改变？

如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些水平截面的面积有什么关系？

体积有没有改变？

（讨论回答）没有

学生活动

设计意图

1、回顾长方体的体积公式，为后面求柱体的体积作好铺垫；

处处相等

没有

续上表

教师活动

猜想：满足怎样条件的两个几何体的体积相等？

[介绍“祖暅原理”] （板书）

我国早在公元前5-6世纪，祖冲之的儿子祖暅就提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里“幂”就是指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思就是说：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。祖暅不仅首次明确提出这一原理，还成功的将其应用与球体积的推算，我们把这条原理称为“祖暅原理”。祖暅原理在西方文献中称为“卡瓦列利原理”，它是由意大利数学家卡瓦列利提出的，比祖暅提出要晚1100多年。（情感）

长方体的体积公式和祖暅原理是计算其他几何体的基础，下面我们就以这两个知识作为已知的事实来探究柱体、锥体、台体和球体的体积。（板书）

学生活动

（思考，尝试回答）

设计意图

2、引出“祖暅原理”，并通过介绍“祖暅原理”，激发学生的爱国热情和民族自豪感，也为求其他几何体体积作好铺垫

[合作探究]

探究一、柱体的体积计算公式

的体积之间有怎样的关系呢？为什么？

（教师演示棱柱、圆柱的形成过程）

[问题四]：长方体的体积计算公式能否推广到一般的棱柱（圆柱）体积的计算呢？

[小结1]、柱体的体积计算公式：（学生讨论回答）

棱柱（圆柱）可由多边形（圆）平截面与底面是全等的多边形（圆），当底面积相等时，水平截面的面积也相等，符合祖暅原理，因此他们的体积相等。

可以，只要使长方体的高与底面积分别与他们相等就可以了。

（学生讨论）

因为，所以在同使用“祖暅原理”解释体积的关系

体现从特殊到一般的思想方法

[问题三]：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）沿某一方向平移得到，因此，水

[说明]：对直棱柱而言，高就等于侧棱长，斜棱柱则不是。

探究二、锥体的体积计算公式

[问题五]：两个底面积相等、高也相等的棱锥（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？

（演示水平截面的特征）

一高度，水平截面的面积相等，符合祖暅原理，所以他们的体积相等。

续上表

教师活动

[问题六]：你能找出三棱锥和与它同底等高的三棱柱体积之间的联系吗？

（演示把一个三棱柱分成三个体积相等的棱锥的过程，引出棱锥的体积计算公式）

[小结2]：锥体的体积计算公式：

探究三、台体体积的计算公式

[问题7]：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式吗？

（引导）

[小结3]：

学生活动

（学生讨论，得出关系）

设计意图

体现柱体和锥体体积之间的联系

体现锥体和台体体积之间的联系

体现数学的和谐与统一，体会数学美以及极限思想

学生讨论完成推导过程

（生讨论，得出如下结论）

[问题8]：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？

（当台体的上底面不断变大，趋向下底面时，几何体就逐渐趋向柱体，当面积相等时，量变引起质变，几何体就成为了柱体，在公式上反映了他们之间的内在统一；台体到锥体同样可得）

探究四、球体积的计算公式

[问题9]：一个底面半径和高都为R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积有什么关系？

（引导注意水平截面的形状，怎样计算水平截面的面积）

你能从中得到球体积的计算公式吗？

[小结4]：

我们能不能也象柱体、锥体那样把体积用球的表面积表示出来呢？

水平截面分别是圆环和小圆

所以

（学生思考）

，

。

续上表

教师活动

（利用切西瓜作为载体，渗透极限的思想：当我们把西瓜切得很小的时候，它的每个面都可近似的看成是平面）（这是我们高二将会学到的极限的知识）

我们可以尝试把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形，这些图形和球心构成的几何体可以近似的看成是小棱锥，这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径，底面积的学生活动

思考，感悟极限思想

设计意图

让学生体会“极限”和“无穷”的思想

和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球体积，因此

，所以，[小结5]：。

它表明球的表面积是球的大圆面积的倍。

[应用巩固]

例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。

画出奖杯的水平直观图

并计算体积

所以这个奖杯的体积为

（板书）（提醒应用题的解题格式）

续上表

教师活动

[回顾反思]

1、本节课我们主要学习了哪些知识？

2、还记得我们推导这些公式的原理吗？

祖暅从身边的数学中得到启发，通过长期的观察、思考、实践，取得了重大的成就。

只要你多留心身边的数学，只要你敢于大胆的去探究、尝试，你必定会获得巨大的收获。

学生活动

柱体、锥体、台体和球体的体积计算公式

设计意图

回顾本节课内容，巩固知识，启发学生贴近生活，留心身边的数学问题。

六、板书设计：

空间几何体的体积

祖暅原理：幂势既同，则积不容异

球体积：球表面积：

七、教后感：

学生对长方体体积计算公式相当熟悉，通过实例感知“祖暅原理”也比较容易被学生接受。在由柱体体积推导锥体体积时，学生对分割感觉有点为难，空间的感知略显薄弱，有待加强。在直接利用公式解决体积时，基本上应用比较熟练。因此，可以看出学生动手探究能力还是比较欠缺，有待进一步提高这方面的能力。