1.2.3 空间几何体的直观图教案2

第一节

空间几何体

三视图的辨析

考向

高考的常考点,主要考查:(1)不同视图之间的关系;(2)由实物图画聚焦

备考

(1)熟记三视图的绘图法则;(2)会由直观图画三视图;(3)能补全三指津

1.(2012年福建卷,文4,5分)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是(

)

(A)球

(B)三棱锥

(C)正方体

(D)圆柱

解析:一般地,圆柱的正视图是矩形,侧视图是矩形,而俯视图是圆.

视图,注意空间想象能力的训练

三视图.常以选择题形式出现,难度不大,所占分值5分

而球、正方体、三棱锥的三视图形状都相同,大小均相等是可以的,故选D.

答案:D.

2.(2012年陕西卷,文8,5分)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为(

)

解析:因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形,其中D1A的正投影是正方形的对角线(实线),B1C的正投影被遮住是虚线,所以B正确.

答案:B.

本题主要考查空间图形的直观图与三视图,考查空间想象能力与逻辑推理能力.

3.(2012年湖南卷,文4,5分)某几何体的正视图和侧视图均如图(1)所示,则该几何体的俯视图不可能是(

)

解析:该几何体的下部是圆柱或长方体,上部也是一柱体,且长宽相等,故选项C不可能.(C中三角形的高不等于底边)

答案:C.

4.(2011年全国新课标卷,文8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(

)

解析:该几何体由正视图和俯视图可知:其为前面为三棱锥,后连一个与三棱锥等高的半圆锥,故侧视图为D选项.故选D.

答案:D.

5.

(2011年山东卷,文11)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其

正(主)视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是(

)

(A)3 (B)2

(C)1 (D)0

解析:底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形侧面放置在水平面上时,它的主视图和俯视图可以是全等的矩形,因此①正确;若长方体的高和宽相等,则存在满足题意的两个矩形,因此②正确;当圆柱侧放时(即左视图为圆时),它的主视图和俯视图可以是全等的矩形,因此③正确,故选A.

答案:A.

6.(2011年浙江卷,文7)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(

)

解析:由正视图排除A、C,由侧视图排除D.故选B.

答案:B.

7.(2011年江西卷,文9)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(

)

解析:此题考查三视图的定义,注意方向,正视图是从前往后看,左视图是从左往右看,俯视图是从上往下看,同时考查想象力.故选D.

答案:D.

8.(2011年辽宁卷,文8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2,它的三视图中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是(

)

(A)4 (B)2 (C)2 (D)

解析:设该正三棱柱的侧棱长和底面边长为a,

则2=a2·a,∴a=2,

则左视图矩形的宽为2×=,高为2,

所以该矩形的面积为×2=2.故选B.

答案:B.

9.(2010年广东卷,文9)如图,△ABC为正三角形,AA'∥BB'∥CC',CC'⊥平面ABC且3AA'=BB'=CC'=AB,则多面体ABCA'B'C'的正视图(也称主视图)是(

)

解析:正视图是从几何体的前面通过正投影得到的平面图形,故选D.

答案:D.

与三视图相关的空间几何体的表面积、体积

考高考的高频考点,主要考查:(1)通过三视图获取空间几何体特征向

的能力;(2)通过三视图求空间几何体的表面积、体积,从而考查学聚生的空间想象能力和计算能力.常以选择题、填空题形式出现,有焦

备考

指津

训练题型:由三视图(或三视图中的两种视图)求空间几何体的表面积、体积,加强识图能力的训练

时作为解答题第(1)问出现,难度中档,所占分值4~6分

10.(2012年广东卷,文7,5分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

)

(A)72π

(B)48π

(C)30π

(D)24π

解析:本题主要考查三视图以及球与圆锥的体积问题,其体积为V=××π×33+×π×32×4=18π+12π=30π.

答案:C.

11.

(2012年浙江卷,文3,5分)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是(

)

(A)1 cm3

(B)2 cm3

(C)3 cm3

(D)6 cm3

解析:本题主要考查了三视图的应用,

根据三棱锥的体积公式V=××2×1×3=1,所以选A.

答案:A.

12.(2012年新课标全国卷,文7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(

)

(A)6 (B)9 (C)12 (D)18

解析:由题意知,V=××6×3×3=9.

答案:B.

13.(2012年新课标全国卷,文8,5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(

)

(A)π

(B)4π

(C)4π

(D)6π

解析:由图

O'A=1,OO'=,

∴OA=,

V球=π×3=4π.

答案:B.

14.(2012年江西卷,文7,5分)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(

)

(A)

(B)5 (C)

(D)4

解析:本题考查三视图及空间想象能力.

由三视图可知,所求几何体是一个底面为六边形(由2条对边长都为1,其余4条边长都为),高为1的直棱柱,因此只需求出底面积即可.由俯视图和主视图可知,底面面积为1×2+2×××=4,故该几何体的体积为4×1=4.故应选D.

答案:D.

三视图问题对于空间想象能力有一定要求,通过已知条件构造合理正确的几何模型是解决这类问题的关键.

15.(2012年北京卷,文7,5分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

)

(A)28+6

(B)30+6

(C)56+12

(D)60+12

解析:由三视图知此三棱锥的直观图如图所示.

∠ACB=90°,AC=5,BC=4,PD⊥平面ABC于D,且D在AC上,AD=2,DC=3,PD=4,

从而可得PC⊥BC.

∴PC=5,AP=2,PB=AB=,

∴S△ABC=S△APC=S△PBC=×5×4=10,

S△APB=×2×=6,

∴此三棱锥的表面积为S=30+6.故选B.

答案:B.

本题考查了由三视图得几何体的线面关系及数量关系,注意棱锥顶点的位置.

16.(2011年广东卷,文9)如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为(

)

(A)4 (B)4 (C)2

(D)2

解析:

由三视图知几何体为底面为菱形且边长为2的四棱锥,如图所示:

∵AB=AD=BD=2,PA=2,

PO=∴=3,

=SABCD·PO

=×2××3=2.故选C.

答案:C.

17.(2011年陕西卷,文5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为(

)

(A)8-

(B)8-

(C)8-2π

(D)

解析:

由三视图知原几何体如图所示为一正方体挖去一等高圆锥,则其体积为V=23-π×12×2=8-.故选A.

答案:A.

18.(2011年湖南卷,文4)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

)

(A)9π+42 (B)36π+18

(C)π+12 (D)π+18

解析:由三视图可知该几何体的上部为直径为3的球,下部是棱长为3,3,2的长方体.

∴体积V=πR3+3×3×2=π×()3+18

=π+18.故选D.

答案:D.

19.(2011年安徽卷,文8)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

(A)48 (B)32+8(C)48+8解析:

(D)80

由三视图知几何体的直观图为以ABCD为底面的直四棱柱,如图,且AB=,AD=4,BC=2,则其侧面积为(2+4+2=24,故几何体的表面积为48+8)×4=24+8.

,两底面面积为2×答案:C.

20.(2011年北京卷,文5)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(

)

(A)32 (B)16+16

(C)48 (D)16+32

解析:该四棱锥底面为正方形,且顶点在底面的射影是正方形的中心,所以四个侧面是全等的等腰三角形,由正视图可知,棱锥的高为2,所以侧面的斜高为2,∴侧面积为4××4×2=16,又底面面积为16,∴表面积是16+16,故选B.

答案:B.

21.(2010年浙江卷,文8)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(

)

(A)

cm3

(B)cm3

(C)cm3

(D)cm3

解析:由三视图可知该几何体由一个长方体和一个四棱台组成,长方体的长、宽、高分别为4、4、2,棱台的上底面是边长为4的正方形,下底面是边长为8的正方形,高为2.所以该几何体的体积为V=4×4×2+×2×(16+64+答案:B.

)=(cm3).故选B.

22.(2010年安徽卷,文9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是(

)

(A)372 (C)292 (B)360 (D)280

解析:由三视图还原几何体为一个组合体,其中下面是长、宽、高分别为8、10、2的长方体,上面是长、宽、高分别是6、2、8的长方体.该几何体的表面积为下面长方体的表面积+上面长方体的侧面积,

∴S表=2×10×8+2×(8+10)×2+2×(2+6)×8=360.故选B.

答案:B.

还原几何体时,注意“长对正,宽相等,高平齐”找出对应数据.该题还应注意勿将“上面长方体的侧面积”混同为“上面长方体的表面积”.

23.(2010年陕西卷,文8)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

)

(A)2 (B)1 (C)

解析:

(D)

该几何体的直观图如图所示,

为直三棱柱ABCA1B1C1,

其体积为V=×1××=1.

故选B.

答案:B.

24.(2012年安徽卷,文12,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于

.

解析:由题知该几何体是底面为梯形的四棱柱,V=(答案:56

25.(2012年天津卷,文10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

m3.

×4)×4=56.

解析:结合三视图,可把几何体看成正视图对应的两个面为底的直棱柱,其底面积为2×3+×(1+2)×1=(m2),

∴V=×4=30(m3).

答案:30

由三视图给出几何体的有关信息是高考中常见形式,该题中几何体是一组合体,也可分为下面为长方体,上面为横放的四棱柱,两体积相加而得.

26.(2012年湖北卷,文15,5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

.

解析:由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2,高为1)与中间一个圆柱(底面圆半径为1,高为4)组合而成,故该几何体的体积是V=π×22×1×2+π×12×4=12π.

答案:12π

本题所考查的三视图模型就是生活中非常常见的线圈,与生活实际联系紧密,但若联想不到这个实物,则由三视图还原为直观图就有一定难度,从而造成无法求解.

27.(2012年辽宁卷,文13,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

.

解析:由三视图知该几何体由上面为圆柱,下面为长方体组成,圆柱的底面直径为2,高为1,长方体的长为4,宽为3,高为1.∴该几何体的体积为3×4×1+π×1×1=12+π.

答案:12+π

根据三视图还原几何体是解题的关键,主要考查学生的空间想象能力.

空间几何体的有关计算

考高考常考点,高考中主要考查:(1)求几何体的面积和体积;(2)计算向

几何体中有关线段长;(3)各几何体的外接球、内切球的有关计算聚问题,在客观题与主观题中均有体现,难度中档,所占分值4~6分

焦

28.(2012年重庆卷,文9,5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是(

)

(A)(0,) (B)(0,) (C)(1,) (D)(1,)

解析:如图,设AB=a,则CD=,其余各棱为1,则易知△ACD为直角三角形,△BCD为直角三角形,取CD中点M,故a的最小值应大于0,而a的最大值应小于BM+MA=,即小于.

∴a的取值范围是(0,),故选A.

答案:A.

29.(2011年湖北卷,文7)设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是(

)

(A)V1比V2大约多一半

(B)V1比V2大约多两倍半

(C)V1比V2大约多一倍

(D)V1比V2大约多一倍半

解析:设球半径为R,正方体边长为a,则(2R)2=3a2,

∴a=∴V1=,

,V2=a3=,=比较可知D正确.故选D.

答案:D.

30.(2011年辽宁卷,文10)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥SABC的体积为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:∵SC是球的直径,

∴△SAC、△SBC均为直角三角形,

又∠ASC=∠BSC=45°,SC=4,

∴SA=SB=AC=BC=4sin 45°=2,

如图,设O为SC的中点,

则OA⊥SC,OB⊥SC,

且OA=OB=SC=2,

∴SC⊥平面AOB,

S△AOB=,

=S△AOB·SC=·×4=.

答案:C.

解决本题的关键在于从球中取得内接三棱锥,且易知∠SAC=∠SBC=90°.

31.(2010年全国新课标卷,文7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(

)

(A)3πa2

(B)6πa2

(C)12πa2

(D)24πa2

解析:∵长方体的顶点都在一个球面上,

∴长方体的体对角线长等于球的直径2R.

∵长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,

∴长方体的体对角线长l==a=2R,

∴R=a.∴S球=4πR2=4π×a2=6πa2,故选B.

答案:B.

32.

(2012年山东卷,文13,4分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥ADED1的体积为

.

解析:本题考查空间几何体体积的计算=答案:

33.(2012年江苏数学,7,5分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥ABB1D1D的体积为

cm3.

=·DC=××1×1×1=.

解析:本题考查空间几何体的体积的计算和直线与平面的垂直的判断与性质定理.

由题意知,四边形ABCD为正方形,

连接AC,交BD于O,则AC⊥BD.

由面面垂直的性质定理,可证AO⊥平面BB1D1D.

OA=,

因为四棱锥底面BB1D1D的面积为3×2=6,

所以答案:6

34.(2012年辽宁卷,文16,5分)已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,若PA=2,则△OAB的面积为

.

=×OA×=6.

解析:把A、B、C、D看成一个长方体的5个顶点,则外接球的球心为长方体的体对角线中点,即PC的中点为球心O,

∵ABCD为正方形,AB=2,

∴AC=2,

又∵PA=2,

∴PC=4,

∴AO=OB=PC=2,

∴AOB为边长是2的正三角形,

∴S△AOB=×2×2×sin 60°=3.

作为与球有关的组合体,需要学生熟记长方体的外接球球心为体对角线这一结论,本题考查学生能否转化为这一结论,体现了转化能力.

35.(2011年四川卷,文15)如图,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是

.

解析:

如图,圆柱的侧面积

S=2πr×2

=4π≤4π×

=32π.

当且仅当r2=16-r2即r2=8,

即r=2时等号成立.

∴球的表面积与圆柱侧面积之差为4π×42-32π=32π.

答案:32π

36.(2012年福建卷,文19,12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.

(1)求三棱锥AMCC1的体积;

(2)当A1M+MC取得最小值时,求证:B1M⊥平面MAC.

解:(1)由长方体ABCDA1B1C1D1知,AD⊥平面CDD1C1,

∴点A到平面MCC1的距离等于AD=1,

又=CC1·CD=×2×1=1,

∴=·AD=×1×1=.

(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开,与侧面ADD1A1共面(如图),

当M运动至M'位置即A1MC'共线时,A1M+MC取得最小值.

由AD=CD=1,AA1=2知M为DD1的中点,连结C1M,在△C1MC中,MC=MC1=,CC1=2,

∴C=MC2+M,

∴MC1⊥MC,又由B1C1⊥平面CDD1C1得B1C1⊥CM.

又B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面B1C1M,∴CM⊥B1M,

同理可证B1M⊥AM,

又AM∩MC=M,∴B1M⊥平面MAC.

本题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能力及数形结合思想.