阅读与思考 坐标法与机器证明教学评价实录

《4.2.1 直线与圆的位置关系》教学设计

滦南县第二高级中学 刘金娜

【教学准备】

学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法是以结论性的形式呈现．高中学习了解析几何以后，要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法．解决问题的方法主要是几何法和代数法．

【教学目标】

1.

知识与能力：

A.理解直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法，培养学生数形结合的数学思想．

B．掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线等一些简单的问题。

2.

过程与方法

让学生通过观察，看图，分析，能判断直线和圆的位置关系。此外，通过直线和圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点。培养学生借助直观解决抽象问题的能力，也就是由数到形，由形到数；由直观到抽象、由抽象到直观的转化能力（数形结合的思想）。

3.

情感态度与价值观

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认1

识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

【重点难点】

教学重点：1、根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，掌握两种判断方法。

2、利用直线与圆的位置关系解决一些简单的问题。

教学难点：利用直线与圆的位置关系解决一些简单的问题。

教学方法：多媒体辅助教学、合作探究法、讲授法

课时安排：

1课时

【教学过程】

一、情境设计

铺垫导入：

“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐代诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面太阳落山的图片：（通过多媒体展示太阳落山的图片）

教师提问：

师：结合初中平面几何所学知识回答，直线与圆有几种位置关系？

生：三种

师：分别是什么？

生：直线与圆相交、相切、相离。

设计意图：教师引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．学生们纷纷回答，从而得出直线与圆的三种位置关系。

2

直线与圆的三种位置关系：

直线与圆的

位置关系

公共点个数

图形

相交

两个

相切

只有一个

相离

没有

二、切入主题

提出课题

师：那么我们在初中是如何判断直线与圆的位置关系的？

生：观察直线与圆的公共点个数；比较圆心到直线的距离d与半径r的大小。

师：对，同学们回答的很好。那现在我们学习了直线方程和圆的方程，如何利用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系呢？请同学们从方程的角度、图形的性质等方面来考虑，给大家两分钟的时间分小组讨论。

师生活动：同学们按预先分的小组进行探究讨论得出结论，教师进行总结，得出两种判断方法

：几何法和代数法。

2直线直线Ax+By+C=0与圆（x-a）+（y-b）2=r2的

位置关系的判断：

【几何法】先求出圆心到直线的距离d和半径r,根据d与r的大小关系判断，若

d

若d=r 直线与圆相切；若d>r 直线与圆相离。

【代数法】根据直线和圆的方程所形成的方程组的解的个数判3

断，若方程组有两组实数解时，直线与圆相交；若方程组有一组实数解时，直线与圆相切；若方程组没有实数解时，直线与圆相离。

师：好，那下面我们就学以致用。

三、新知应用 深化理解

例1.已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系．如果相交，求出它们的交点坐标．

师生活动：学生思考或交流，回顾判断的方法与步骤，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价；方法一，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系；方法二，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；

解法一：圆x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心C|3×0＋1－6|的坐标为(0,1)，半径长为5，圆心C到直线l的距离d＝32＋12＝5<5，所以直线l与圆相交，有两个公共点．

103x＋y－6＝0，解法二：由直线l与圆的方程，得22x＋y－2y－4＝0，

①②

消去y，得x2－3x＋2＝0.因为Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0，所以直线l与圆相交，有两个公共点．

由x2－3x＋2＝0，得x1＝2，x2＝1.把x1＝2代入方程①，得y1＝0；把x2＝1代入方程①，得y2＝3，所以直线l与圆相交有两个公共点，它们的坐标分别是(2,0)和(1,3)．

教师点评：比较两种解法，我们可以看出，几何法判断要比代数法判断快得多，但是若要求交点，仍需联立方程组求解．

4

活学活用：

已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点．

师生活动：学生思考或交流，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价．我们知道，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解，或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系．反过来，当已知圆与直线的位置关系时，也可求字母的取值范围，所求22x＋y＝2，曲线公共点问题可转化为b为何值时，方程组有两组y＝x＋b

不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题．圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题，可转化为b为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题．

解法一：圆x2＋y2＝2的圆心C的坐标为(0,0)，半径长为2，圆|－1×0＋1×0－b||b|心C到直线l：y＝x＋b的距离d＝＝. 212＋12|b|当d>r时，即>2，即|b|>2，即b>2或b<－2时，圆与直线没有公2共点；

|b|当d＝r时，即＝2，即|b|＝2，即b＝±2时，圆与直线只有一个2公共点；

|b|当d

解法二：若直线l：y＝x＋b和圆x2＋y2＝2有两个公共点、只有5

22x＋y＝2，一个公共点、没有公共点，则方程组有两个不同解、y＝x＋b

有两个相同解、没有实数解，

消去y，得2x2＋2bx＋b2－2＝0，

所以Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝16－4b2. 所以，当Δ＝16－4b2>0，即－22或b<－2时，圆与直线没有公共点．

教师点评：由于圆的特殊性，判断圆与直线的位置关系，多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法，而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断，则需要利用方程组解的个数来判断. 例2：已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为

，求直线l的方程．

教师点拨：题中有直线被圆截得的弦长，所以直线与圆的位置关系为相交。我们简单画个图形观察，可以发现圆的半径r、弦心距d和半弦长AB正好构成一个直角三角形，所以根据勾股定理: 2ABr2d2

2解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+2）2＝25， 所以，圆心坐标是（0，-2），半径长r=5. 因为直线l被圆所截得的弦长是45 ，所以弦心距为

即圆心到所求直线l的距离为5

。

6

因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3).即：kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离d=

因此，= . 即 。

两边平方，并整理得到 2k2-3k-2=0, 解得k= ,或k=2。 所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为 y+3= (x+3)或y+3=2(x+3） 即：x+2y+9=0,或2x-y+3=0. 活学活用：

过点（1，1）的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点，则弦长AB的最小值为（B）

A.

23

B.4

C.

25

D.5 四、练习反馈

巩固提高：

1. 判断直线

3

35



0

与圆

x

2



y

2



2

x

x



4

y



0

的位置关系.

2.过点（-1，-2）的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为求直线l的方程。

五、总结提升 形成方法：

师生活动：教师引导学生归纳：

7

1212

，

（1）.判断直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系：

位置关系

公共点个数

判定方法

(2)与弦长有关的问题．

六、课后训练 冲刺高考

习题4.2

A组1、2、3. 七、板书设计

直线与圆的位置关系

直线Ax+By+C=0与

例1：

小结：

圆（x-a）2+（y-b）2=r2 的位置关系：相交

相交

____个

d___r △___0 相切

___个

d___r △___0 相离

____个

d___r △___0 几何法

代数法

相切

相离

例2：

【教学反思】

本节课能够充分利用多媒体教学手段，调动学生积极性，激发学生自主探究交流，发挥了教师的主体性，课堂气氛融洽，效果良好。只是由于时间关系，弦长问题的解决略显仓促，后面的教学中需注意。

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