1.2.1 中心投影与平行投影ppt配用优秀获奖教案

第一章

《

空间几何体》导学案

主备教师：宋文忠

§1.1.1

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标

1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；

2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；

3. 理解多面体的有关概念；

4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 学习过程

一、导：

引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形。如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!

二、思（学习教材P2~ P4，找出疑惑之处）

探索新知

探究1：多面体的相关概念

问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?

新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：图1.1—2

O//CDA

顶点

B面

A

轴D

棱

A

C

O

A

B

图1.1—2

图1.1—3 探究2：旋转体的相关概念

问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？

新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如上图1.1—3的旋转体:

1

探究3：棱柱的结构特征

问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?

新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）

试试1：

你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？

新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…

②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.

试试2：

探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?

新知5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱ABCD—ABCD.

探究4：棱锥的结构特征

问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？

新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥SABCDE.

探究5：棱台的结构特征

问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?

新知7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.

2

试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.

三、议：

1、根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？

2. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；

3. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

4. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；

5. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

四、展：典型例题

例

由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？

五、评：

学习小结

1. 多面体、旋转体的有关概念；

2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

六、测：

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）

1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（

）. A．棱锥

B．棱柱

C．平面

D．长方体

2. 棱台不具有的性质是（

）.

A.两底面相似

B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等

D.侧棱延长后都交于一点

3. 已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（

）. A.ABCDFE

B.ACBFDE

C.CABDFE

D.它们之间不都存在包含关系

4. 长方体三条棱长分别是AA=1AB=2，AD4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是_____________. 5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________.

3

七、用：课后作业

1. 已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高(侧面三角形的高)SM=n，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积.

2. 在边长a为正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？

D C

F

A B

E

4

§1.1.2

圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

学习目标

1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；

2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；

3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；

4. 能描述一些简单组合体的结构.

学习过程

一、导

复习：① ______________________________________________________叫多面体,

___________________________________________________叫旋转体. ②棱柱的几何性质：_______是对应边平行的全等多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平行于底面的截面是与_____全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与底面_____，其相似比等于____________.

引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.

二、思

、议（学习教材P5~ P7，找出疑惑之处在小组上交流）

探索新知

探究1：圆柱的结构特征

问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？

新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：

圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO.圆柱和棱柱统称为柱体. 探究2：圆锥的结构特征

问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.

5

新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.

探究3：圆台的结构特征

问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?

新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台.

圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体. 反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？

探究4：球的结构特征

问题：球也是旋转体，怎么得到的?

新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），

简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.

探究5：简单组合体的结构特征

问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？

新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由

简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.

6

三、议：

知识拓展：

圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.

四、展：

典型例题

例

将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；

①棱柱结构特征的有________________________；

②棱锥结构特征的有________________________；

③圆柱结构特征的有________________________；

④圆锥结构特征的有________________________；

⑤棱台结构特征的有________________________；

⑥圆台结构特征的有________________________；

⑦球的结构特征的有________________________；

⑧简单组合体______________________________.

动手试试

练.

如图，长方体被截去一部分，其中EH‖AD,剩下的几何体是什么?截去的几何体是什么?

五、评：

学习小结

1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；

2. 简单组合体的结构特征. 自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

六、测（时量：5分钟

满分：10分）

1. RtABC三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（

）.

A.是底面半径3的圆锥

B.是底面半径为4的圆锥

C.是底面半径5的圆锥

D.是母线长为5的圆锥

2. 下列命题中正确的是（

）. A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥

B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体

C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线

3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（

）. A.52

B.25

C.5

D.52

2

4. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由

、

、

的几何体构成的组合体. 5. 圆锥母线长为R，侧面展开图圆心角的正弦值为3，则高等于__________. 2

7

七、用：课后作业

如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将

它绕轴旋转1800后形成一个组合体，下面说法不正确的是___________ A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体

B.该组合体仍然关于轴l对称

C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点

D.该组合体中的球和半球只有一个公共点

2. 用一个平面截半径为25cm的球,截面面积是49cm2,则球心到截面的距离为多少？

8

§1.2.1 中心投影与平行投影

§1.2.2 空间几何体的三视图

学习目标

1. 了解中心投影与平行投影的区别；

2. 能画出简单空间图形的三视图；

3. 能识别三视图所表示的空间几何体；

学习过程

一、导

复习

1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的. 2：简单组合体构成的方式：________________和_____________________________________.

二、思（学习教材P11~ P14，找出疑惑之处在小组上交流）

探索新知

探究1：中心投影和平行投影的有关概念

问题：中午在太阳的直射下，地上会有我们的影子；晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？

新知1：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面.光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影,否则叫斜投影.

思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射是什么投影？

试试：在下图中,分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子.

结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.

探究2：柱、锥、台、球的三视图

问题：我们学过的几何体(柱、锥、台、球),为了研究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画呢？能否用平行投影的方法呢?

新知2：为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.

一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长方体的三视图.

9

正视图

侧视图

俯视图

思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图,你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能归纳三视图的画法吗?

小结：

1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；

2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；

3.三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.

探究3：简单组合体的三视图

问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗?

小结：画简单组合体的三视图，要先观察它的结构，是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何体的三视图，最后组合在一起.注意线的虚实.

三、议

知识拓展

画三视图时若相邻两物体表面相交,则交线要用实线画出；确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同.

四、展

典型例题

例1

画出下列物体的三视图：

10

例2

说出下列三视图表示的几何体：

动手试试

练

作出下图中两个物体的三视图

五、评

学习小结

1. 平行投影与中心投影的区别；

2. 三视图的定义及简单几何体画法：正视图（前往后）、侧视图（左往右）、俯视图（上往下）；画时注意长对正、高平齐、宽相等；

3. 简单组合体画法：观察结构，各个击破.

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

六、测（时量：5分钟

满分：10分）

1. 下列哪种光源的照射是平行投影（

）. A.蜡烛

B.正午太阳

C.路灯

D.电灯泡

2. 左边是一个几何体的三视图，则这个几何体是（

）.

A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台

3. 如图是个六棱柱,其三视图为（

）.

A.

B.

C.

D.

4. 画出下面螺母的三视图

11

__________________________ .

5. 下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图，

，

则它的立体图为________.

七、用

课后作业

1. 画出下面几何体的三视图.(箭头的方向为正前方)

2. 一个正方体的五个面展开如图所示,请你在图中合适的位置补出第六个面来.(画出所有可能的情况)

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§1.2.3

空间几何体的直观图

学习目标

1. 掌握斜二测画法及其步骤；

2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.

学习过程

一、导

复习1：中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影. 2：物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；画三视图的要点是_____ 、_____ 、______.

引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗?

二、思（学习教材P16~ P19，找出疑惑之处在小组上交流）

探索新知

探究1：水平放置的平面图形的直观图画法

问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?

新知1：上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：

(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，建立直角坐标系，两轴相交于O.画直观图时,把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45°(或135°).它们确定的平面表示水平面；

(2) 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段；

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半；

(4) 图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.

三、议

典型例题

例1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.

讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形?它的直观图如何画？

结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭圆模板来画.

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探究2：空间几何体的直观图画法

问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？

例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.

新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：x轴，y轴，z轴；它们相交于点O，且xOy45°，xOz90°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x轴的线段保持长度不变，平行于y轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z轴的线段，保持长度不变.

四、展

动手试试

练1. 用斜二测画法画底面半径为4cm,高为3cm的圆柱.

例3

如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.

正视图

侧视图

俯视图

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练2. 由三视图画出物体的直观图.

正视图

侧视图

俯视图

小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来.

五、评

学习小结

1. 斜二测画法要点①建坐标系，定水平面；②与坐标轴平行的线段保持平行；③水平线段(x轴)等长,竖直线段(y轴)减半；④若是空间几何体,与z轴平行的线段长度也不变. 2. 简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图.

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

六、测（时量：5分钟

满分：10分）

1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（

）. A. 4、8、4

B. 4、4、4

C. 2、4、4

D.2、4、2 2. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（

）.

A.①②

B.①

C.③④

D.①②③④

3. 一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是（

）.

A. 8

B. 16

C.162

D.322

4. 下图是一个几何体的三视图

正视图

俯视图

侧视图

请画出它的图形为_____________________. 5. 等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=2，

下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图ABCD的面积为________.

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七、用

课后作业

1. 一个正三角形的面积是103cm2，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面积.

2. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.

y

C(0,2)

B(4,0)

O

x

A(3,2)

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§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）

学习目标

1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程

一、导

复习：斜二测画法画的直观图中，x轴与y轴的夹角为____，在原图中平行于x轴或y轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于x轴的线段长度保持_____，平行于y轴的线段长度____________.

引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？

二、思（预习教材P23~ P25，找出疑惑之处在小组上讨论、交流）

探索新知

探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积

问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？

结论：

正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.

新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.

试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？

正六棱柱

正四棱台

正四棱锥

探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积

问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？

17

你能推导它们表面积的计算公式吗？

新知2：（1）设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即S2r22rl2r(rl).

（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即Sr2rlr(rl).

试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？

新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r，r，母线长为l，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即

Sr2r2(rlrl)(r2r2rlrl).

三、议

反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？

典型例题

例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积.

例2

如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)?

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四、展

动手试试

练1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，求它的表面积.

练2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高(上下底面的距离)是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

五、评

学习小结

1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；

2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法. 知识拓展

当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加. 自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

六、测（时量：5分钟

满分：10分）

1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（

）.

A.43

B.34

C.42

D.16

2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（

）. 12141214

B.

C.

D.

2423. 一个正四棱台的两底面边长分别为m,n(mn),侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的

A.高为（

）. A.

mnmnmnmn

B.

C.

D.

mnmnmnmn19

4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________. 5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.

七、用

课后作业

1.

圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为，求证：360（度）.

2. 如图，在长方体中，ABb，BCc，CC1a，且abc，求沿着长方体表面A到C1的最短路线长.

DC

B

A

D

C

AB

rl

20

§1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

学习目标

1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程

一、导

复习1：多面体的表面积就是___________________加上___________.

2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是r，圆台下底面的半径是r，母线长都为l,则S圆柱_______________________, S圆锥___________，S圆台__________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式VSh（S为底面面积，h为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

二、思（预习教材P25~ P26，找出疑惑之处在小组上交流）

探索新知

新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为：VSh，（S为底面积，h为高

131台体体积公式为：V(SSSS)h

3锥体体积公式为：VSh，（S为底面积，h为高）

（S，S分别为上、下底面面积，h为高）

补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.

三、议

反思：思考下列问题

⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？

⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

典型例题

例1 如图(1)所示，三棱锥的顶点为P，PA,PB,PC是它的三条侧棱,且PA,PB,PC分别是面PBC,PAC,PAB的垂线，又PA2，PB3,PC4，求三棱锥PABC的体积V.

P

C

BA

图(1)

21

变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥BABC的体积.

CD

B

A

D

C

AB图(2)

小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.

例2

高12cm的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225cm2,体积为2800cm3，求截得它的圆锥的体积.

变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.

小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解.

四、展

动手试试

练1. 在△ABC中,AB2,BC,ABC120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周，求所形成的旋转体的体积.

32ABC22

练2. 直三棱柱高为6cm,底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.

五、评

学习小结

1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；

2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.

知识拓展

祖暅及祖暅原理

祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

六、测（时量：5分钟

满分：10分）

1. 圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（

）.

A.6倍

B.9倍

C.12倍

D.16倍

2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为2,3,6，则它的体积为（

）. A.23

B.32

C.6

D.4 3. 各棱长均为a的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（

）. 6332a

B.a

C.a

D.a

36364. 一个斜棱柱的的体积是30cm3，和它等底等高的棱锥的体积为________. 5. 已知圆台两底面的半径分别为a,b(ab),则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________. A.

23

七、用

课后作业

1. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重10kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).

2. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1,h2,h3，则h1﹕h2﹕h3=?

24

§1.3.2 球的体积和表面积

学习目标

1. 了解球的表面积和体积计算公式；

2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.

学习过程

一、导

复习：柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______, 它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为_____________________.

二、思（预习教材P27~ P28，找出疑惑之处在小组上交流）

探索新知

新知：球的体积和表面积

球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：

43球的表面积公式

S4R2

球的体积公式

VR3

其中，R为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径R有关.

三、议

典型例题

例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍?

变式：若三个球的表面积之比为1﹕2﹕3，则它们的体积之比为多少?

例2

一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9g/cm3）

25

例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证

（1）球的体积等于圆柱体积的；

（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 23

变式：半径为R的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为r，则R为多少? r

小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决.

四、展

动手试试

练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.

26

练2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.

A 2 D

4

C B 5

五、评

学习小结

1. 球的表面积及体积公式的应用；

2. 空间问题转化为平面问题的思想.

知识拓展

极限的思想推导球的表面积公式过程：

如图,将球的表面分成n个小球面，每个小球面的顶点与球心O连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n个小棱锥的体积和，表面积是这n个小球面的面积和.当n越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式. 自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

六、测（时量：5分钟

满分：10分）

1. 如果球的半径扩大2倍，则球的表面积扩大（

）.

A.2倍

B.2倍

C.2倍

D.8倍

22. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为V1,V2，球直径为d，正方体的棱长为a，则（

）.

A.da,V1V2

B.da,V1V2

C.da,V1V2

D.da,V1V2

3. 记与正方体各个面相切的球为O1，与各条棱相切的球为O2，过正方体各顶点的球为O3则这3个球的体积之比为（

）.

A.1:2:3

B.1:2:3

C.1:22:33

D.1:4:9 4. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________. 5. 把一个半径为532cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高应为_______cm.

27

七、用

课后作业

1. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.

2. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?

28