小结教学实录及点评

简单几何体外接球半径的求法

漠河市高级中学 韩静

教学分析：

球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

教学目标：

知识与技能：学生学会用公式法、构造法、方程法解决空间几何体的外接球半径问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

重点：学会转化的思想方法。

难点：公式法、构造法、方程法的要点。

教学过程分析

教学内容与问题设置

复习多面体外接球定义，球的体积和表面积公式。

球是高考出题的热点，我们先来复习一下球的体积公式和表面积公式

写题目

讲授新课

一、公式法

1.复习问：正方体，它的体对角线长和棱长什么关系

正方体外接球的直径等于正方体的体对角线

2R3a

长方体的外接球问题

我们先来看长方体的外接球问题

问：一个球要满足什么条件，我们就把这个球叫做长方体的外接球

问：那么球心的位置

问：如果给出长方体的长宽高，长方体的外接球半径怎么求

得到长方体的外接球半径

a2b2c2R22.正六棱柱的外接球半径

h4aa,高为h,R问：正六棱柱底边长为 2例1、

长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其外接球的表面积 例2、

正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底边边长为

6时，高为？

221

解：由公式得4R232221214，所以S4R214.

解：由公式得h24R24a212,

所以h23

二．构造法 （1）三条侧棱（或三个侧面）两两垂直时，若棱长都相等则补成正方体，若棱长不都相等则补成长方体。

（2）正四面体补成正方体，正四面体棱长为a 问：

2正方体的边长la 2

则转化为正方体

外接球问题进一步求解

问：墙角问题可以构造成长方体或者正方体

例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的面积？ 答案

32a2

解析：求正四面体外接球的半径补形成正方体，求外接球的半径。

（3）三棱锥的对棱相等补成长方体

问：三棱锥的对棱可以看成长方体的面对角线

例4、已知三棱锥A-BCD，AB=CD=3,AC=BD=4,AD=BC 2

2=

,三棱锥A-BCD的外接球的半径=

。

解：以三棱锥的各棱为对角线构造长方体，长方体的体对角线是其外接球的直径，设长方体的长、宽、高分别为

a,b,c 由题意得

a2b29,

abc66则由Rb2c216,24

22ca8,

思考总结：

问：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？

三条侧棱两两垂直的三棱锥

三．方程法

222棱柱或棱锥的侧棱垂直于底面，高为h ,底面外接圆半径为r,则棱R

柱或棱锥的外接球半径r2(h2)2123（2）若底面为等边三角形，

a

; r

3ar（1）若底面为直角三角形，



斜边; bc（3）若底面是任意三角形,根据

sin

A

sin

B

sin

C。

2

r

我们在看这个三棱锥，底面是等边三角形，一条侧棱垂直底面，2

怎么求它的外接球的半径，如果想直接找这个三棱锥的外接球球心好不好找

例5、三棱锥

P



ABC

的四个顶点均在同一个球面上，

为等边三角形，

PA



平面

则球的体积为.

ABCPA26,AB3，解：r

3hAB3,6,R36332

PABCD

3

4

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课后作业

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