4.3.2 空间两点间的距离公式教案评析

学案设计 第四章

圆与方程

4.3

空间直角坐标系

学习目标

1.掌握空间直角坐标系的有关概念;会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标. 2.掌握空间中两点的距离公式. 学习过程

一、设计问题,创设情境

在房间(立体空间)内如何确定一个空间的物体所在位置?在学生思考讨论的基础上,教师明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢? 借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢? 二、学生探索,尝试解决

图1

借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢? 1.在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示? 2.在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? 3.我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢? 4.观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立. 5.观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢? 三、信息交流,揭示规律

1.在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根

,就成了空间直角坐标系. 2.如无特别说明,本书建立的坐标系都是

直角坐标系. 3.空间直角坐标系像平面直角坐标系一样,有“三要素”:

.

学案设计 图2

4.在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=∠xOz=135°,∠yOz=90°,且使y轴和z轴的单位长度相同,x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半,即用斜二测法画. 已知M为空间一点,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P,Q,R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就

确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的

.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 5.反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P,Q与R分别作

的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)

坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的

关系. 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 6.如果点M在yOz平面上,则

;同样,zOx面上的点

;

面上的点,z=0;如果点M在x轴上,则

;如果点M在y轴上,则

;如果点M在

轴上,则x=y=0;如果M是原点,则x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z). 7.你能用空间两点的坐标表示这两点间的距离吗?类比平面两点间距离公式的推导,猜想空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式

. 四、运用规律,解决问题

8.如图,长方体OABC—D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,写出D',C,A',B'四点的坐标.

总结规律:(试总结如何根据题设条件写出点的坐标?) 9.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 总结规律:(试总结坐标轴上点的特征及空间中两点间的距离公式是什么?)

学案设计 10.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1的中点,棱长为1,求E,F点的坐标. 总结规律:(试总结空间直角坐标系中中点坐标公式?)

五、变练演编,深化提高

11.在上题中求B1(1,1,1)点关于平面xOy对称的点的坐标. 12.在上题中求B1(1,1,1)点关于z轴对称的点的坐标. 13.在上题中求B1(1,1,1)点关于原点D对称的点的坐标. 六、信息交流,教学相长

类比平面直角坐标系,你能很好地掌握空间直角坐标系中中点的坐标吗?

七、反思小结,观点提炼

空间直角坐标系中的坐标——对于空间任一点M,作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z,则把有序实数对(x,y,z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标. (设计意图:通过反思小结掌握本节课所学的主要内容和思想方法,掌握空间直角坐标系中点的坐标的特征和空间两点间的距离.) 布置作业

课本P138习题4.3

A组第1,2,3题,B组第1,2题. 参考答案

三、1.竖轴

2.右手

3.原点、坐标轴方向、单位长度

4.唯一,横坐标、纵坐标和竖坐标

5.x轴、y轴和z轴,一一对应

6.x=0,y=0,xOy,y=z=0,x=z=0,z 7.|P1P2|=

-

-

-

四、8.D'在z轴上,而|OD'|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D'的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A'在xOz平面上,纵坐标为0,A'的横坐标就是|OA|=3,A'的竖坐标就是|OD'|=2,所以A'的坐标就是(3,0,2).点B'在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B'在z轴上的射影是点D',它的竖坐标与D'的竖坐标相同,点D'的竖坐标z=2,所以点B'的坐标是(3,4,2). 9.设M(0,0,z),由题意

-

-

-

-

-

-

-

, 解得z=-3,所以M(0,0,-3) 10.解:方法一:从图中可以看出E点在xOy平面上的射影为B,而B点的坐标为(1,1,0),E点的竖坐标为

,所以E点的坐标为(1,1,

);F点在xOy平面上的射影为G,而G点的坐标为

学案设计

(

,0),F点的竖坐标为1,所以F点的坐标为(

,1). 方法二:从图中条件可以得到B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0).E为BB1的中点,F为D1B1的中点,由中点坐标公式得E点的坐标为(

)=(1,1,),F点的坐标为(

)=(

,1).

11.解:设所求的点为B0(x0,y0,z0),由于B为B0B1的中点,所以

解之,得

.

-

所以B0(1,1,-1).

12.解:设所求的点为P(x0,y0,z0),由于D1为PB1的中点,因为D1(0,0,1),所以

解之,

.

-

得

-

所以P(-1,-1,1).

.

13.解:设所求的点为M(x0,y0,z0),由于D为MB1的中点,因为D(0,0,0),所以

解之,得

.

-

-

所以M(-1,-1,-1

-

.