2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案和课堂实录

2．1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2．1.4

平面与平面之间的位置关系

1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示．

2．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．

1．直线与平面的位置关系

位置关系

公共点个数

直线a在平面α内

无数个

符号表示

a⊂α

a∩α＝A

图形表示

直线a与平面α相交

有且只有一个公共点

直线a与平面α平行

无公共点

a∥α

符号表示

α∥β

两平面相交

有无数个公共点，这些点在一条直线上

α∩β＝l

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行．(

) (2)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.(

) (3)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是(

) A．平行

B．平行或相交

C．相交

D．垂直

答案：B 3．给出下列命题，正确的是________．(填序号) ①若平面α和平面β相交，则它们只有有限个公共点；

②两个平面的交线可能是一条线段；

③与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面都平行；

④两平行平面中，一平面内的直线与另一平面平行．

解析：由面面相交的定义知①②不正确，与两个相交平面的交线平行的直线可能在某平面内，③不正确；由面面平行、线面平行的定义知④正确．

图形表示

2.两个平面的位置关系

位置关系

公共点个数

两平面平行

无公共点

答案：④

探究点一

直线与平面的位置关系的判断

下列命题：

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数为(

) A．1

B．2 C．3

D．4 [解析]

因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．

因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．

因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．

因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．

综上，真命题的个数为1.

[答案]

A

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或特例法进行判断，要注意多种可能情况．

1.下列命题正确的个数为(

) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．

A．0

B．1 C．2

D．3

解析：选B.如图所示：

我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确．

A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题②不正确．

直线l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题③正确．

探究点二

平面与平面的位置关系的判断

给出的下列几个命题中，正确命题的个数是(

) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；

③若两个不重合平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交．

A．0

B．1 C．2

D．3

[解析]

如图，平面α内有无数条直线与β平行，但α与β相交．故①②均错．

不重合的两个平面，若它们有公共点，则它们有无数个公共点，都在它们的交线上，故③正确．

[答案]

B

(1)判断面面的位置关系，要牢牢抓住其特征和定义，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．

(2)平面与平面的位置关系的判断方法

①平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．

②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

2.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．

①不可能只有两条交线；

②必相交于一点；

③必相交于一条直线；

④必相交于三条平行线．

解析：空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．

答案：①

探究点三

线、面位置关系图形的画法

作出下列各题的图形．

(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α. (2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n. [解]

直线与平面位置关系的图形画法

(1)画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．

(2)画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．

(3)画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．

3.在图中画出三个两两相交的平面．

解：如图所示：

1．直线与平面位置关系的分类

(1)按公共点的个数分类

直线与平面平行（无公共点）

直线与平面直线与平面相交（有且只有一个公共点）

直线在平面内（有无数个公共点）不平行(2)按是否在平面内进行分类

直线在平面内直线与平面相交

直线在平面外直线与平面平行2．两相交平面的画法

(1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(a)．

(2)再画出表示两个平面交线的线段，如图(b)．

(3)过图(b)中线段的端点分别引线段，使它们平行于图(b)中表示交线的线段，如图(c)．

(4)画出图(c)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线可以画成虚线，也可以不画)，如图(d)．

1.给出下列几个命题：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．

其中正确命题的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案：B 2．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．

答案：异面

3．下列命题正确的是________．(填序号) ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．

解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．

答案：①

[A

基础达标]

1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(

) A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

答案：B 2.(2016·长沙检测)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(

) A．b⊂α

B．b∥α

C．b⊂α或b∥α

D．b与α相交或b⊂α或b∥α

答案：D 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1的6个表面与6个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

答案：B 4．下列命题中的真命题是(

) A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交

B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面

C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α

D．若a∥α，b⊂α，则a∥b

答案：A 5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面(

) A．只有一个

B．恰有两个

C．没有或只有一个

D．有无数个

解析：选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.

6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AA1D1D平行的平面是________；与平面A1B1C1D1平行的平面是________；与平面BDD1B1平行的棱有________．

答案：平面BB1C1C

平面ABCD

AA1和CC1

7．与两条异面直线平行的平面有________个．

答案：无数

8．已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，下面给出几个结论：

①l与m，n都相交；②l与m，n中至少一条相交；③l与m，n都不相交；④l与m，n中只有一条相交．

其中正确结论的序号为________．

答案：③

9. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

解：a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

因为α∥β，a⊂α，b⊂β，所以a、b无公共点．

又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b.

因为α∥β，所以α与β无公共点．

又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β. 10．已知：直线a∥直线b，a∩平面α＝P，求证：直线b与平面α相交．

证明：如图所示，因为a∥b，

所以a和b确定平面β.

因为a∩α＝P，

所以平面α和平面β相交于过点P的直线l.

因为在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交，所以l必与b相交，设b∩l＝Q.又b不在平面α内，故直线b与平面α相交．

[B

能力提升] 1．(2016·厦门质检)满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥AB，b∥AB的图形是(

)

答案：D 2．已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面．

其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．

答案：③④

3．下列命题正确的是________．

①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；

②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；

③若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

解析：对于①，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直，所以命题①正确．

对于②，α、β也可能相交，②不正确；

对于③，当a与b重合时，a在β内，当a∥b时，a∥β，当a与b相交时，a与β相交，③不正确．

答案：①

4．(选做题) 如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

解：平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：

因为AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

所以AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.

又因为AB⊂平面ABC，l⊂β，所以P∈平面ABC，P∈β.

所以点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

所以直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

所以平面ABC与平面β的交线与l相交．