3.1.1 变化率问题教案1

3.1.1变化率问题 项目

内容

课题

教学

（共

1

课时）

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

目标

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重、

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

难点

教学

多媒体课件

准备

教学难点：平均变化率的概念．

一、导入新课：

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

教学过程

二、讲授新课：

（阅读课本）

（一）问题提出

问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)

43r

3

如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4分析: r(V)33V，

4第

1 页

共

6 页

⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)r(V1)

V2V1ot 问题2

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4. 9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v

h(0.5)h(0)4.05(m/s)；

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

在1t2这段时间里，v2165探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0t0.5这段时间里，v⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，65)h(0)，

4965h()h(0)所以v490(s/m)，

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动49h(员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

第

2 页

共

6 页

（二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子

x2的平均变化率

2．若设xx2x1, ff(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 3．

则平均变化率为f(x2)f(x1)表示,x2x1

称为函数f(x)从x1到f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1x思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率

几何含义：

ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1

第

3 页

共

6 页

三、问题小解

例1．课本73页探究。

例2. 课本79页习题3.1A组第一题。

四、问题反思

1.函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为0，能否说明函数y＝f(x)没有发生变化？如果不能说明，试举例。

Δyf（x0＋Δx）－f（x0）2．平均变化率＝中，Δx、Δy的值是否可为任意ΔxΔx实数？

五、注意六点

(1)Δx是自变量x2相对于x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．

(2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．

Δyf（x2）－f（x1）f（x1＋Δx）－f（x1）(3)在公式＝＝中，当x1取定值，Δxx2－x1ΔxΔx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数Δy时，Δy＝0，则＝0. Δxf（x1）－f（x0）(4)平均变化率表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是x1－x0曲线陡峭程度的“数量化”．

f（x0＋Δx）－f（x0）(5)求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形Δx式．

(6)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．

六、典例分析

例3 求函数y＝2x+1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx1＝2时平均变化率的值．

例4. 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0第

4 页

共

6 页

＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．

解:

函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

f（x0＋Δx）－f（x0）[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2）＝

（x0＋Δx）－x0Δx6x0·Δx＋3（Δx）2＝＝6x0＋3Δx. Δx当x0＝2，Δx＝0.1时，

函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为

6×2＋3×0.1＝12.3. 七、课堂练习

1.自变量x从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(

) (A)在区间［x0，x1］上的平均变化率

(B)在x0处的变化率

(C)在x1处的变化量

(D)在区间［x0，x1］上的导数

2.函数f（x）=2x2-1在区间（1，1+Δx）上的平均变化率

等于(

) (A)4

(B)4+2Δx

(C)4+2（Δx）2

(D)4x

课堂小结：

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

布置作业：

P.79 2 §3.1.1变化率问题

问题1 气球膨胀率

板书设计

问题2 高台跳水

平均变化率的计算公式

自变量的改变量Δx＝x2－x1

↓

第

5 页

共

6 页

函数的改变量Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1) ＝f(x0＋Δx)－f(x0) ↓

Δyy2－y1f（x2）－f（x1）f（x0＋Δx）－f（x0）＝＝＝

Δxx2－x1x2－x1Δx

以实例引入平均变化率的概念，利于学生对此概念的理解和掌握。在给出教学反思

平均变化率概念以后，再结合实例说明x可以取正，也可以取负。

为导数几何意义的学习做铺垫，再画图让学生分析平均变化率的几何解释。

第

6 页

共

6 页