小结教案3

圆锥曲线中的最值问题

河北乐亭第一中学

王志华

【高考地位】

最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进行考查，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心。

【教学目标】

1、知识与技能：使学生明确求圆锥曲线中的最值问题的基本方法. 2、过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力,渗透数形结合、化归与转化的思想。

3、情感、态度与价值观:通过对问题的探究，使学生理解事物间普遍联系与辩证统一观点，并能体验成功的喜悦。

【教学重点与难点】

1、重点：求圆锥曲线中的最值问题的基本方法。

2、难点：形与数的转化，化归思想的应用。

【教法】

诱思探究法

【教学手段】计算机辅助教学

【教学程序】

方法一：定义转化法

根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。

关键：用好圆锥曲线的定义

x2y21的左右焦点，例1、已知点F1,F2是椭圆定点A(1,1),P是椭圆上的动点，123PAPF2的最大值，最小值分别为

. 解析：根据椭圆的定义，PA2PF1PF22a，所以-41PF2PA1a4P1F4又3P,A，最小值为3+17P1FP,A117,PF计算AF11，所以最大值为73

对应练习：

x2y21

的左焦点，定点A(1,4)，P是双曲线右支上动1.已知点F是双曲线

412点，则PFPA的最小值为

.

思维导图

根据双曲线的定义，建立点A、P与两焦点之间的关系——两点之间线段最短

解析：设双曲线右焦点为F'

2.已知P点为抛物线

y24x上的点，那么P点到点Q(2,1)的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为

_ __，此时P点坐标为

_.

由抛物线定义，P点到F点距离等于P点到准线间距离，所以要求最小距离即为Q点到准线距离。

回顾反思与能力提升：

1、体现了什么数学思想方法？

2、理论根据是什么？

3、此法适合解决哪类问题？

方法二：切

线

法

当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值时的点。

例2、求椭圆x28y28上的点到直线xy40的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标. 思维导图

求与xy40平行的椭圆的切线——切线与直线xy40

的距离为最值，

切点就是所求的点.

解析：设与

xy40平行与椭圆相切的直线方程为xym0(m4)

xym0

2 （1）

2x8y89x216mx8m280(16m)249(8m28)0m3当m3时，代入（）式，1dmin当m3时，代入（）式，1dmax2;272;2

对应练习：

动点P在抛物线x22y上，求点P到直线xy30的最短距离，并求出此时P点的坐标。

（方法一）切线法；

回顾反思与能力提升：

1、此法用了哪种数学思想方法？

2、有没有别的办法？

3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大值，何时取最小值. （方法二）导数的几何意义。

152求导y'x,设切点为P（x0,y0),所以x01,P(1,),所以dmin.

24方法三:参

数

法

根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法. 关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标

x2y21上动点，则Sxy的最例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆

3大值是________.

思维导图：

根据椭圆的参数方程表示x,y____将S表示成关于参数的函数

x3cos(02)

解析：设P点坐标为ysinSxy3cossin312(cossin)222sin(

.当3)

时，Smax2.

6回顾反思与能力提升：

1、参数法体现了什么数学思想方法？

2、解析几何中还有哪些曲线可以做这种代换？

3、理论根据是什么？

4、关键是什么？

方法四:函

数

法

把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法. 关键：建立函数关系式

例4、

已知P点是抛物线y24x上任意一点，Q是圆(x-4)2y21上任意一点，则PQ的最小值为________. 思维导图：

把所求距离表示为抛物线上点的横坐标的函数——求这个函数的最小值

解析：由已知设点P(x,y)，圆心C(4,0)，则

PC(x4)2y2(x4)24xx24x16(x2)212,x0PCmin23,PQmin231对应练习：

2

1.已知P点是抛物线y24x上任意一点，Q是x轴上任意一点，（

Qa,0),求PQ的最小值。x22.求椭圆y21上动点P到定点A(0,2)的最大距离。

4回顾反思与能力提升：

1、函数法关键是什么？

2、应注意的问题有哪些？

3、参数法是否也是函数法？

4、抛物线若为y22px(p0)，有什么结论？

小结: 圆锥曲线的最值问题解决方法较多，常见的有四种.有些题目可以用多种方法解决，遇到此类题目时，要选取适当的方法。