3.1.3 导数的几何意义优质课一等奖

利用导数求切线方程

深圳市美术学校

伍晓雅

(一)

教学目标

1.理解导函数的几何意义；

2.掌握“切点已知”类型题目的求切线问题；

3.掌握“切点未知”类型题目的求切线问题。

(二)

教学重点、难点

重点：理解导函数的几何意义。

难点：当切点未知时学会求切线方程。

(三)

教学过程框图

复习导数的定义

重点复习理解切线的几何意义 讲解切点已知类型问题

练习

讲解切点未知类型问题

练习并总结

(四)

教学活动过程和情境设计

问题

设计意图

通过复习导数定师生活动

师：引导学生回忆并投影出初始概1）导数是如何定义的？

义唤起学生回忆，念，平均变化率和瞬时变化率。

并为接下来求切线方程打基础。

生：回忆，理解概念。

2）观看割线变化直至通过动态变化，学师：投影割线变化的动态图，画面最后得到某点的切线生观察并得出导停在某点切线位置，并投影重要结论“函数

在点

处的导函数

等于该函数图像上过该点的切线斜率”。

生：观察，理解结论。

3）根据导数的几何意通过同时展示原师：投影原函数表达式与图像，并的过程，说明导数与切数的定义与曲线线之间有什么关系？

上某点切点之间的关系。

义，你能回答出原函数函数和导函数，学提问导函数，同时投影出导函数表上某几点的切线斜率与导函数上相同横坐标点的导函数值如何对应吗？

生进一步理解结达式与图像。

论“函数

在点生：回答出导函数表达式。

处的导函数

等于该函数图像上过该点的切线斜率”。

师：次第展示点在原函数上的切线和切线斜率，提问并展示出相同横坐标的点在导函数上的导函数值

。

生：根据原函数上某点的切线斜率回答对应导函数值数值。

4）请读例题1并尝试对于一般求解切从以下三个步骤求出函数

在点(1,2)处的切线方程，①求导函数；②求

；③求过曲线

师：投影出例题“已知函数线方程问题，学生

过点(1,2)，则过该店

形成清晰求解思路，同时为求解切线方程的思维发散问题打基础。

的切线方程为（ ）”，并投影出三个细分小问，①求导函数；②求

；③求过曲线

上的点(1,2)的切线方程。

上的点(1,2)的切线方程。

练习：

生：完成三个小问，并分析、理解三个小问之间的联系。

1、函数

在(0,1)处的切线方程为（

）

2、已知函数

的图像在点(1,

)处的切线过点(2,7)，则

=（

）

5）请读例题2并判断引导学生重点关题目中出现的点(0,0)师：投影出例题“已知函数注切点，首先判断

的一条切线过原点(0,0)，则该切线方程为（

）”。并且引导学生判断(0,0)是否是切点。

生：思考并回答，得出结论(0,0)不是切点。

师：提问“切点未知，如何求解”，并引导学生设出切点坐标。

生：设出切点坐标(a,b)。

师：展示函数

图像，引导学生思考该切线方程，提问能否设出切线坐标。

生：由于切线过原点，设切线方程斜率为k，表达式为y=kx。

师：根据函数

图像，点出“切点既在切线上又在原函数

上”，提问是否能求出切点。

生：根据上述结论列出方程，解出切点坐标，求出切线方程。

是否是切点，如果是，题目给出的点是该如何求解，如果不是否是切点。

又该如何求解？

练习：

1、已知函数

的一条切线过点(0,2)，求切点坐标及过该切点的切线方程。

2、已知函数

的一条切线经过原点，则该切线方程为（

）

小结：

切点已知，利用导数求切线方程一般步骤：

1、求导；

2、求出切线斜率；

3、代入点斜式方程求出切线方程。

切点未知，利用导数求切线方程一般步骤：

1、设切点坐标；

2、设切线方程

3、求切点处导数值；

4、将切点代入切线方程求解

教学反思：

导数在高中数学教学中十分重要，通过导数，学生更加深入地了解函数及其性质。其中导数的几何意义是学生求大部分切线问题的关键。而使用导数的几何意义时，首先应该了解切点的位置，然后根据“切点处的导数等于过该点的切线方程”此一几何性质，可以求出切线斜率，进而得出切线方程。

此专题旨在带领学生复习导数的基本概念和强调导数几何意义，并且指明切点的重要性，帮助学生总结出求切线问题的通用步骤。学生的瓶颈在于切点未知类型问题上不敢解，即使设出切点坐标，对于如何求解坐标也不够熟练。本专题编入了几道切点未知类型题目，进行反复训练，从而帮助学生打破瓶颈，落实知识点，建立信心。