3.1.1 变化率问题教案（名师）

第三章导数及其应用

§3.1.1变化率问题

一．教材分析：

新课标对本节的要求是：“通过大量实例的分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。”新课标对导数及其应用内容是按照“平均变化率——瞬时变化率——导数的概念——导数的几何意义”的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数。

变化率问题在内容上起到承上启下的作用。一方面变化率问题是对前面所学过的函数性质的进一步深入研究，另一方面本节通过实例分析，总结归纳出一般函数的平均变化率，同时探讨平均变化率的几何意义，为下节研究瞬时速度和切线斜率作知识铺垫，对导数概念的形成起着奠基作用，同时在这个过程中渗透着从特殊到一般、从具体到抽象以及数形结合等数学思想方法，对于培养学生的观察、分析、归纳总结能力具有十分重要的意义。

二．学情分析：

在学习本节课之前，学生已学过直线斜率、物体运动的平均速度等知识，具有一定的归纳、概括、类比等能力基础，但是从特殊到一般，从具体到抽象的概念构建过程会有认知障碍。

三．教学目标：

1．知识与技能：理解平均变化率的概念及意义，掌握求函数平均变化率的基本步骤，会求函数在某点处附近的平均变化率。

2．过程与方法：体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法和以直代曲的思想。

3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度，勇于探究的精神和合作交流的习惯。

四．教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

五．教学难点：平均变化率的概念．

六．教学方法：引导启发式、师生合作式、多媒体教学模式。

七．学习方法：教师引导和自主探究相结合

八．教学过程：

1.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; （2）求曲线的切线; （3）求已知函数的最大值与最小值; （4）求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

2．新课讲授

（1）问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3



如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4分析: r(V)33V，

4h ⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21ot 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)r(V1)

V2V1问题2

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v

h(0.5)h(0)4.05(m/s)；

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

在1t2这段时间里，v2165探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0t0.5这段时间里，v⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)h(0)，

4965)h(0)49所以v0(s/m)，

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运49h(动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（2）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

变化率

f(x2)f(x1)表示,x2x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均2．若设xx2x1, ff(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 3．

则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1x思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率

直线AB的斜率

f(x1) O △x= x2-x1

x1 x2 x ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1y y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1)

九．典例分析

例1．计算函数

f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率

；

解：△y=f (-1)- f (-3)=4

,

△x=-1- (-3)=2 y42

x2例2. 求函数f (x) = x+1的平均变化率。

△y=f (x+△x)- f (x) =2△x ·x+x

22y2xxx22xx

xx

十．课堂练习

1.已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),2

则y

．

x22．质点运动规律为st3，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为

．

3.求yx2在xx0附近的平均变化率。

十一．回顾总结

十二.

板书设计

1．

平均变化率

3.例题

2．

平均变化率的步骤

十三．布置作业

十四. 课后反思