3.2.1 几个常用函数的导数教学设计内容推荐

3.2.1

几个常用函数的导数

一、三维目标：

1.知识与技能：能根据导数的定义求几个常用函数的导数，掌握计算一般函数yfx在x0处的导数的方法与步骤；

2. 过程与方法：利用导函数的定义求几个常用函数的导数，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会他们之间的联系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透；

3. 情态与价值观

在求解具体函数的导函数的过程中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系。

二、教学重点.难点：

重点：推导几个常用函数的导数；

难点：推导几个常用函数的导数。

三、学情分析

从知识上看，学生通过学***均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，具有一定的想象能力和研究问题的能力．

四、教学方法

探析归纳，讲练结合

五．教具准备：

多媒体课件，三角板

六、教学过程

1.复习引入

1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的步骤

3.

yfx在x0处的导数f(x0)就是导数f(x)在点x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数

4.求切线方程的步骤

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

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2．几个常见函数的导数

1）．函数yf(x)c的导数

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0函数

导数

yc

y0

y0表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2）．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0函数

导数

yx

y1

y1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数yf(x)x的导数

2yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0函数

导数

yx2

y2x

y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的

2

斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

4）．函数yf(x)1x的导数

1因为yf(xx)f(x)xx1xxxx

x(xx)x(xx)x1x2xx

所以ylimyx0xlim(x011x2xx)x2

函数

导数

y1x

y1x2

推广：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1

3.典型例题：

例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。

(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。

(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。

例2.已知yx，1)求y;

2)求曲线在点（，11）处的切线方程.练习

1：

求双曲线y＝11x在点(2，2)处的切线方程．

练习

2：求抛物线y＝1274x过点(4，4)处的切线方程．

例

3求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．

练习：

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2

，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．

4.课堂小结：

5.作业：

求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围城的三角形的面积。

七、教学反思

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