3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学活动设计方案

第6课时

对数的运算性质与换底公式

1.掌握对数的运算性质,能运用运算性质进行对数的有关运算.

2.理解换底公式,能运用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,并进行化简或计算.

人民网北京2013年11月23日电:23日白天,华北、黄淮和江淮等地连续第三天出现雾霾天气.其中,霾主要出现在河北中南部和东部、北京南部、天津、辽宁中东部及黄淮、江淮等地.中央气象台23日18时继续发布霾黄色预警.雾霾天气已经严重影响了人们的正常生活,为治理雾霾天气,政府采取了多种强有力的措施,其中有的城市着重强化增加城市的绿地面积.假设从2014年起逐年增加城市绿化面积,若每年新增绿地亩数比上一年增加10%,从而力争逐步将城市的绿地面积翻两番.

问题1:如何计算该城市在哪一年要实现绿地面积翻两番? 若设该市2013年年底有绿地面积a,则经过1年,即2014年的绿地面积是a+a·10%=a(1+10%);再经过一年,即2015年的绿地面积是a(1+10%)2;经过3年,即2016年的绿地面积是a(1+10%)3,…,经过x年的绿地面积是a(1+10%)x,依题意,a(1+10%)x=4a,即(1+10%)x=4,∴x=log1.14=≈15.

∴大约经过15年,也就是到2028年该市的绿地面积将翻两番.

问题2:对数的运算性质

如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M·N)=

; ②loga=

; ③logaMn=

(n∈R).

问题3:对数运算性质loga(MN)=logaM+logaN能否推广? 可以推广到n个数的情形,即: loga(M1M2M3…Mn)=

(其中a>0,a≠1,M1,M2,M3,…,Mn均大于0).

问题4:(1)换底公式:①已知a>0,b>0,且a≠1,c≠1,把对数logab化成底数为c的对数表示,即logab=

.

②已知a>0,b>0,且a≠1,m,n∈N*,把对数lolobn化成底数为a的对数表示,即bn=

.

(2)换底公式的意义与作用: 在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简与求值.

在使用换底公式时,应根据实际情况选择底数,一般将对数化为常用对数或自然对数,然后化简求值.

1.已知a>0且a≠1,则loga2+loga等于(

).

A.0 B.

C.1 D.2 2.若a>0且a≠1,M>0,N>0,且M>N,给出下列式子: ①logaM·logaN=loga(M+N); ②logaM·logaN=loga(M·N); ③loga=; ④logaM-logaN=loga(M-N).

其中不正确的有(

).

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.若lg a与lg b互为相反数,则a与b的关系是

.

4.若a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,则由换底公式可知logab=,logba=,所以logab=,试利用此结论计算+

的值.

对数运算性质的应用

计算下列各式的值:

(1)log535-2log5+log57-log51.8; (2)2(lg (3))2+lg·lg 5+; ; (4)(lg 5)2+lg 2+lg 2·lg 5.

换底公式的应用

(1)化简:log56·log67·log78·log89·log910.

(2)已知lg 2=a,lg 3=b,用a、b表示log312.

对数的实际应用

里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为

级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的

倍.

计算下列各式的值: (1)(lg -lg 25)÷10=

; (2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2=

.

(1)化简:+.

(2)已知a、b、c均为正数,3a=4b=6c,求证:+=.

一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)?(lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)

1.已知f(x)=log2x,则f(8)等于(

).

A.

B.8

C.3

D.-3 2.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,给出下列各式: ①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn; ③logax=-loga;④⑤=loga;⑥loga=logax; =-loga.

其中正确的有(

).

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

3.若log34·log48·log8m=log416,则m等于

.

4.已知log53=a,log52=b,试用a、b表示log2512.

(2013年·浙江卷)已知x,y为正实数,则(

).

A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y

B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y

C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y

考题变式(我来改编):

D.2lg(xy)=2lg x·2lg y

答案

第6课时

对数的运算性质与换底公式

知识体系梳理

问题2:①logaM+logaN ②logaM-logaN ③nlogaM

问题3:logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn

问题4:(1)①基础学习交流

1.A

loga2+loga=loga(2×)=loga1=0.

2.D

本题考查对数运算性质的掌握情况,与运算性质对照,4个选项都是错误的.选D.

3.ab=1

由题意lg a+lg b=0,∴lg(ab)=0,∴ab=1.

4.解:(法一)(法二)

②logab

++=+=+==1.

=log213+log277=log2121=1.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2; (2)原式=lg(3)原式=(2lg+lg 5)+==; =lg(lg 2+lg 5)+1-lg=lg+1-lg=1; (4)原式=lg 2+lg 5(lg 5+lg 2)=lg 2+lg 5=1.

【小结】1.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到.

2.对于同底的对数的化简,常用方法是:

(1)将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数; (2)将积(商)的对数化成对数的和(差).

探究二:【解析】(1)原式=(2)∵log312=··, ··=.

==又lg 2=a,lg 3=b, ∴log312==1+.

【小结】换底公式的作用是化为同底,在解题时常化为常用对数或自然对数.利用换底公式可以得到如下结论:(1)lobm=logab;(2)logab·logba=1;(3)logab·logbc·logcd=logad.

探究三:【解析】由M=lg A-lg A0知,M=lg 1000-lg 0.001=3-(-3)=6,∴此次地震的震级为6级.

设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg=lg A1-lg A2=(lg A1-lg A0)-(lg A2-lg A0)=9-5=4.

∴=104=10000, ∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.

【答案】6

10000 【小结】本题体现了对数的实际应用,在高考中为中低档难度的题目;需注意的是这个高考题其实就是我们教材上例题的改编,这就启示我们,在平时的学习中一定要抓好教材,落实好双基.

思维拓展应用

应用一:(1)-20

(2)3

(1)(lg -lg 25)÷10=lg ÷=lg 10-2÷=-2÷=-20; (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5·(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 2+lg 5)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.

应用二:(1)原式=lo+lo=log32+log34=log38.

(2)(法一)设3a=4b=6c=k,则k>0,由对数定义得:a=log3k,b=log4k,c=log6k, 则左边=+=+=2logk3+logk4=logk36,

右边===2logk6=logk36, ∴+=.

(法二)对3a=4b=6c,两边同时取常用对数得: lg 3a=lg 4b=lg 6c,∴alg 3=blg 4=clg 6, ∴==log63,==log64, ∵+=log6(9×4)=2,∴+=.

应用三:设这种放射性物质最初的质量是1,经过x年后,剩余量是y,则有y=0.75x, 依题意,得=0.75x, 即x===≈4.

=答:估计约经过4年,该物质的剩余量是原来的.

基础智能检测

1.C

∵f(x)=log2x,则f(8)=log28=log223=3.

2.B

由对数的运算性质知①②④不正确,而③⑤⑥正确,故选B.

3.9

∵log34·log48·log8m=log416,∴··=log442,化简得lg m=2lg 3,即lg m=lg 9,∴m=9.

4.解:log2512=log253+log254=log53+log52=a+b.

全新视角拓展

D

2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y.

思维导图构建

logaM+logaN logaM-logaN nlogaM logaM