4.3.2 空间两点间的距离公式优质课教案推荐

4、3、2空间两点间的距离公式

一、【学习目标】

1、空间两点间距离公式的导出及使用。（难点）

2、通过平面两点间的距离公式类比，探索空间两点距离的求法。（重点）

二、【教学过程】

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？

自学教材136页内容，回答问题（空间两点间的距离公式）

<一>.类比平面两点间距离公式的推导，您能猜想一下空间两点

P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离公式吗？

<二>.如果|OP|是定长，那么x2y2z2r2表示什么图形？

结论：<一> 先看简单的情形.设空间直角坐标系中点P（x,y,z),求点P到原点O的距离.如图所示，设点P在xoy平面上的射影是B，则点B的坐标是（x,y,0).在xoy平面上，我们可以得到结论有|OB|=x2y2.在直角三角形OBP中，根据勾股定理|OP|=|OB|2|BP|2,因为|BP|=|z|,所以222|OP|=xyz.这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x,y,z)与原点之间的距离是|OP|=|OB|2|BP|2

下面再看一般的情况，设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间任意两点，且两点在xoy平面上的射影分别为M,N，那么M,N的坐标为M(x1,y1,0)，N(x2,y2,0).在xoy平面上，|MN|(x1x2)2(y1y2)2.过点P1做P2N的垂线，垂足为H，则|MP1||z1|,|NP2||z2|，所以|HP2||z1z2|.在直角三角形P1HP2中，|P(x1x2)2(y1y2)2，根据勾股定理，得到1H||MN|22(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. |P1P2||P1H||HP2|因此空间中点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离公式为可以表示

1

222成下面形式：|P1P2|(x1x2)(y1y2)(z1z2). <二>.表示一个球面.

<三>.例题

例1

已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。

解：利用两点间距离公式，由

|AB|89,|AC|75,|BC|14

222|AC||BC||AB|从而，

根据勾股定理，结论得证

例2 在四面体P-ABCA中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离。

解：根据题意，建立如图所示的坐标系，则P（0,0,0），

A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）

过点P作PH⊥平面ABC，

交平面ABC于H，则PH的长

即为点P到平面ABC的距离。

∵PA=PB=PC, ∴H为ΔABC的外心，

又∵

ΔABC为正三角形，

∴H为

ΔABC

的重心，

可得点H的坐标为（a/3,a/3,a/3）

C

z

C

H

P

A

P

A

B

y

B

x3a3

|PH|(0a2aa)(0)2(0)2333

∴点P到平面ABC的距离是

3a

3

2

<四>、巩固与练习

练习一：完成教材138页练习1、2、3、4；

练习二：补充练习

（通过练习，学生能熟练两点间的距离公式.）

三、【作业】

1、必做题：习题4.2A组第1题；

2、选做题：习题4.2B组第1题.

四、【小结】

这节课主要学习了两点间的距离公式，要求学生能理解公式的推导过程，能熟记空间两点间的距离公式并能熟练简单的应用.

五、【反思】

这节课主要是培养学生的空间想象能力，空间两点间的距离公式的推导过程实际上就是一个解决问题、分析问题的能力，教师要注意引导.

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