2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课一等奖

[A

基础达标] 1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(

) A．相交

C．相交或异面

解析：选C．

B．异面

D．平行

如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1、AD相交，与BC异面．

2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(

) A．一定平行

C．一定是异面直线

B．一定相交

D．一定垂直

解析：选D．因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D．

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是棱AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(

) A．相交

C．平行

解析：选C．

B．异面

D．垂直

如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C．

4．已知异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(

) A．c与a，b都相交

B．c与a，b都不相交

C．c至多与a，b中的一条相交

D．c至少与a，b中的一条相交

解析：选D．若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，

所以a∥c．

又c与b都在β内，所以b∥c．

由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．

如图，只有以下三种情况．

5．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是(

) A．菱形

C．梯形

解析：

B．矩形

D．正方形

1∥选B．如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE∥═2BD，同理GF═1BD，

2所以HE∥═GF，

所以四边形EFGH为平行四边形．

又AC⊥BD，所以HG⊥HE，

所以四边形EFGH是矩形，故选B．

6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与BD所成角的大小为________．

答案：60°

7．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在直线，b平行于AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则a，b所成的角为________．

解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，

知a，b所成的角为∠BAC的补角，

所以a，b所成的角为60°．

答案：60°

8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS

是异面直线的一个图是________(填序号)．

解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．

答案：③

9．

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)∠BMC＝∠B1M1C1．

证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，

所以MM1∥═AA1．

又因为AA1∥═BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1．

所以四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

所以B1M1∥BM．

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

所以C1M1∥CM．

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，

所以∠BMC＝∠B1M1C1．

10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解：取AC的中点F，连接EF，BF，

在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，

所以EF∥CD，

所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．

在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，

所以AB＝AC＝1，

11在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，

22所以BE＝5．

2111在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，

222所以EF＝2．

215在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，所以BF＝．

2212EF2410在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，

BE5102所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为10．

10[B

能力提升] 11．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有(

) A．1条

C．3条

B．2条

D．4条

解析：选B．过空间一点P，作a′∥a，b′∥b．由a′、b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′、b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的左右两侧各有一条直线与a′、b′成30°的角，即与a、b成30°的角且过点P的直线有两条．

在a′、b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′、b′成30°角的直线．故应选B．

12．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．

以上结论中正确的是________(填序号)．

解析：

把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

答案：①③

13．已知直线a，b，c，平面α，β满足α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，c∥a．求证：b，c为异面直线．

证明：法一：(重要结论法)如图．

因为c⊂α，a∩b＝A，α∩β＝a，

所以A∈a，A∈α，而a∥c，所以A∉c．

在直线b上任取一点B(不同于点A)，

因为b⊂β，所以B∉α，

所以AB与c是异面直线，即b，c是异面直线．

法二：(反证法)如图．

假设b，c不是异面直线，即假设b，c在同一平面γ内，则b⊂γ，c⊂γ．

因为a∩b＝A，

所以A∈γ，即点A和直线c均在平面γ内．

因为a∥c，A∈a，所以A∉c．

又因为c⊂α，A∈a，A∈α，

所以过直线c与直线c外一点A有两个平面α和γ，这与公理2的推论矛盾，故b，c为异面直线．

14．(选做题)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，求异面直线EF和AB所成的角．

解：如图，

1∥1CD，所以∠EGF是AB设G是AC的中点，分别连接EG、GF，由已知得EG∥AB，FG═2═2和CD所成的角或是其补角．

因为AB＝CD，所以EG＝GF．

当∠EGF＝30°时，

AB和EF所成角∠GEF＝75°，

当∠EGF＝150°时，

AB和EF所成角∠GEF＝15°．

综上所述，异面直线EF和AB所成的角为15°或75°．