直角三角形的性质与判定第二课时教学实录

第一章 三角形的证明

2．直角三角形（一）

教学内容

北师大版八年级数学下册第一章第二节直角三角形第一课时

教学目标

1．知识目标：

（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

3．教学重点、难点

教学重点：

①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

教学难点：

勾股定理及其逆定理的证明方法．

教学用具：直角板、PPT 教学过程：

一、复习导入

直角三角形的组成元素是什么？曾经我们探索过直角三角形的哪些性质和判定。（独立思考）

从直角三角形的组成元素入手归纳、总结性质和判定：

直角三角形的性质：

1.在直角三角形中，有一个角是直角。

1

2.在直角三角形中，两个锐角互余。

3.在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

4.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：

1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形。

2.有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

将上述性质和判定分为已被证明和未被证明的，从而引入新课。

二、讲述新课

1.证明“在直角三角形中，两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 引导学生将文字语言转化成图形语言和符号语言，然后自己证明

第一个命题由学生证明并书写证明过程，第二个命题由学生叙述证明过程即可。

2.回顾八年级上册验证“勾股定理”的2种方法（PPT出示），挑选第2种方法并分析第2种方法的图，为下面的证明铺垫思路。

3．勾股定理及其逆定理的证明．

（1）勾股定理的证明

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，

连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

∴四边形ACDE是直角梯形．

11∴S梯形ACDE＝ (a+b)(a+b) ＝

(a+b)2．

22∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

1∴S△ABE＝ c2

2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

AEACBbCcaBD2

1111∴ (a+b) 2＝

c2 + ab + ab, 2222111即 a2 + ab + b2＝ c2 + ab, 222∴a2+b2＝c2

教师用多媒体显示勾股定理内容．

（2）勾股定理逆定理的证明

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗? 师生共同来完成．

已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2

求证：△ABC是直角三角形．

分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．

证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，

则A′B′＋A′C′B′C′.(勾股定理)．

∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′

∴BC2＝B′C′2

∴BC＝B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．

因此，△ABC是直角三角形．

总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

4.互逆命题和互逆定理．

（1）互逆命题

出示勾股定理和勾股定理逆定理

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 再出示两组命题，让学生观察并提问，

通过观察，学生会发现：

3 22=2ABCA'B'C'

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

小结：在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．

小练习：PPT出示

出示练习：

写出下列命题的逆命题

1. 如果我是小学生，那么我就是学生。

2.对顶角相等。

3.直角三角形的两个锐角互余。

（2）互逆定理

想一想：上面命题都是真命题吗？

小结：真命题的逆命题不一定是真命题。

针对前两种真命题的逆命题是假的问题的研究意义不大，我们看第三种，像这样一个真命题的逆命题通过证明也是真命题的两个定理我们就称为互逆定理。

出示互逆定理的定义：

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理. 其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．

能举例说出我们已学过的互逆定理? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对6：三、课堂总结

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．

四、随堂练习

1.说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假: （1）四边形是多边形; （2）如果ab=0,那么a=0,b=0. [分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如

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果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．

解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．

(2)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．

2.在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE.

五、课后作业

定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.”的逆命题正确吗？为什么？

六、板书设计

§1.2直角三角形（1）

1.有一个角是直角。

直角三角形（角、边）性质2.直角三角形的两个锐角互余. 3.在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. 4.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的

直角边等于斜边的一半. 判

1.

有一个角等于90°的三角形是直角三角形. 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么

这个三角形是直角三角形.

互逆真

命题互逆定理

定

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