一元一次不等式与一次函数图象的关系第二课时教学实录

5 一元一次不等式与一次函数

【知识与技能】

理解一次函数与一元一次不等式的关系，并解决实际问题．

【过程与方法】

经历探索一次函数与一元一次不等式的关系的过程，掌握其应用方法. 【情感态度】

培养良好的数学抽象思维，体会本节课知识在现实生活中的应用价值. 【教学重点】

一次函数与一元一次不等式的关系. 【教学难点】

解决实际问题.

一.情景导入，初步认知

上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其它解法. 【教学说明】以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，利用初中生的好奇心理，激发学生探究新知的兴趣. 二.思考探究，获取新知

探究1：一元一次不等式与一次函数的关系

作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3?

想一想：如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0? 【教学说明】通过作函数图象,观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图像可以帮助解决一元一次方程、一元

一次不等式的问题. 【归纳结论】由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值大（小）于0时，可求出自变量相应的取值范围． 探究2:解决实际问题. 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）何时哥哥能追上弟弟？

（2）何时弟弟跑在哥哥前面？

（3）何时哥哥跑在弟弟前面？

（4）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？

解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得

y1=4x y2=3x+9 函数图象如图：

从图象上来看：

（1）9s时哥哥追上弟弟；

（2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；

（3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；

（4）弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m; 【教学说明】感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系. 三.运用新知，深化理解

1.用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．

解法1：原不等式化为3x-6<0，画出直线y=3x-6（左图），可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2．

解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10（右图），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2．

2.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则

y1=200×0.75x=150x y2=200×0.8（x－1）=160x－160 当y1=y2时，150x=160x－160，解得x=16; 当y1＞y2时，150x＞160x－160，解得x＜16; 当y1＜y2时，150x＜160x－160，解得x＞16. 因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少. 3.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠. 甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.那么甲商场的收费y1（元）与所买的电脑台数x之间的关系是 . 乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.那么乙商场的收费y2（元）与所买的电脑台数x之间的关系是 . （1）什么情况下到甲商场购买更优惠？

（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？

（3）什么情况下两家商场的收费相同？

解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有

y1=6000+（1－25%）（x－1）×6000=4500x+1500 y2=80%×6000x=4800x （1）当y1＜y2时，有4500x+1500＜4800x解得x＞5即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；

（2）当y1＞y2时，有4500x+1500＞4800x.解得x＜5. 即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠；

（3）当y1=y2时，即4500x+1500=4800x 解得x=5. 即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同. 【教学说明】一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，另一方面，让学生在自主学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在. 四.师生互动，课堂小结

先小组内交流，收获感想然后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充. 五.教学板书

布置作业:教材“习题2.6”中第1、2、3 题.

这堂课让学生感受数学与实际结合的魅力，充分体现了数学是解决现实问题的工具的作用.教师角色定位准确，在学生自己通过分析、实践、探究、总结等活动的基础上加以引导，培养了学生发现问题，提出问题和解决问题的能力.