一元一次不等式组的解法第一课时教学设计

第二章

一元一次不等式与一元一次不等式组

6

一元一次不等式组

1.通过具体问题抽象出不等式组.

2.理解一元一次不等式组及其解集的意义,会用数轴表示不等式组的解集.

3.体会利用不等式组解决简单实际问题的方法.

4.培养学生的抽象概括能力.

5.体会数形结合思想的魅力.

教学时通过具体的实例启发学生建立不等式组模型,让学生通过观察、交流得到不等式组的概念,通过学生自己的独立探索得出不等式组的解集.

通过运用不等式组解决简单的实际问题,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系.

【重点】

掌握一元一次不等式组的有关概念.

【难点】

求一元一次不等式组的解集.

第课时

1.理解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集、解不等式组等概念.

2.会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.

通过操作、观察、归纳,运用类比的思想方法总结出一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集、解不等式组这些概念,发展学生的类比推理能力.

培养学生独立思考的习惯与合作交流意识.

【重点】

1.理解有关一元一次不等式组的概念.

2.会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.

【难点】

在数轴上确定不等式组的解集.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习一元一次不等式的解法.

导入一:

解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1)2x-1>x+1;

(2)x+8<4x-1; (3)2x+3≥x+11; (4)-1<2-x.

[设计意图]

复习一元一次不等式的解法,既复习了旧知识,又为新课做了铺垫.这几个练习由浅入深,也可充分调动各层次学生的学习积极性.

导入二:

回顾:解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.

(1)2x+3>5;

(2)6x-5≤1.

探索:用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要多长时间才能将污水抽完? 分析:设需要x分钟才能将污水抽完,那么总的抽水量为30x吨.由积存的污水在1200吨到1500吨之间,可得1200≤30x≤1500.

[设计意图]

通过一个具体的问题引入一元一次不等式组的概念,学生在研究这一具体问题时,自然感知到要解决的问题同时满足两个约束条件,而这两个约束条件都是不等式,这样引入不等式组的概念比较自然.

一、一元一次不等式组的有关概念

[过渡语]

同学们,我们来看下面的问题,看看大家能不能解决.

某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨.若该校计划每月烧煤x吨,则x满足怎样的关系式? 师:这是一个实际问题,请大家先理解题意,弄清已知条件和未知元素,从而确定用哪一个知识点来解决问题,即先把实际问题转化为数学问题,再求解.

生:已知条件有:取暖时间为4个月,未知量是计划每月烧煤的吨数x,当每月比原计划多烧5吨煤时,每月实际烧煤(x+5)吨,这时总量4(x+5)>100;当每月比原计划少烧5吨煤时,实际每月烧(x-5)吨煤,这时总量4(x-5)<68.即根据题意,得4(x+5)>100,①

且4(x-5)<68,②

未知数x同时满足①②两个条件,把①②两个不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组,记作

师:从上面的形式中,大家能否根据方程组的概念来类推出一元一次不等式组的概念呢?请互相讨论.

生:可以.一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.

师:大家要注意定义中的“几个”是指两个或两个以上.大家能猜想一下这个一元一次不等式组的解集吗? 生1:既然不等式组是几个不等式的组合,所以其解集应是每个不等式的解集的组合,解不等式①,②,得x>20,x<22,所以不等式组的解集为所有大于20的数和所有小于22的数,即为全体实数.

师:大家同意他的观点吗? 生2:不同意,不等式组的解集不是每个不等式的解集的组合,而是每个不等式的解集的公共部分.

师:非常正确,请大家用类比推理的方法叙述不等式组的解集的概念.

生:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.

总结:(1)一元一次不等式组的概念:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.

(2)一元一次不等式组的解集的概念:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.

(3)解不等式组的概念:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.

[设计意图]

通过师生之间的讨论和交流,让学生自己总结出概念,可以让学生对新知识有一个更加深刻的印象.

二、例题讲解

[过渡语]

刚刚我们学习了一元一次不等式组的相关概念,下面我们根据例题来总结一下如何解一元一次不等式组.

(教材例1)解不等式组: 解:解不等式①,得x>, 解不等式②,得x<6, 在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图所示:

因此,原不等式组的解集为

[设计意图]

通过学生之间的交流、讨论,加强学生之间合作交流学习的能力,同时通过学生自己的归纳总结,引导学生在同一条数轴上对两个一元一次不等式的解集进行观察、发现,从而探究出这个一元一次不等式组的解集,利用数形结合思想突破本节课的难点.

[知识拓展]

1.解一元一次不等式组的步骤通常为: (1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集; (2)在同一条数轴上把它们的解集表示出来; (3)找出解集的公共部分,即为不等式组的解集.

2.一元一次不等式组解集的情况(设a>b): (1)当不等号的方向一致时(称同向不等式),即或对这类不等式组可按“同大取大,同小取小”的法则,即取公共部分作为它的解集(如图所示).

(2)当未知数的取值小于大数且大于小数时,即则不等式组的解集在两数之间,取公共部分(如图所示).

(3)若未知数的取值比大数还大,比小数还小,即则不等式组无解,即没有公共部分(如图所示).

1.一元一次不等式组的有关概念.

2.一元一次不等式组的解法.

1.下列不等式组中,解集是2

(

) A. B. C. D. 答案:C 2.在数轴上从左至右的三个数为a,1+a,-a,则a的取值范围是

A.a< B.a<0

(

)

C.a>0 D.a<- 答案:D 3.不等式组的解集在数轴上表示(如图所示)为

(

) 答案:C 4.若y同时满足y+1>0与y-2<0,则y的取值范围是

.

答案:-1

(

) A.x>1 B.x<2 C.1≤x≤2 D.1

.

答案:-≤x≤4 7.解下列不等式组: (1)

(2) 解:(1)

8.解不等式组并把解集表示在数轴上,求出不等式组的整数解.

解:解集为-≤x<3,在数轴上表示略.整数解为2,1,0,-1.

第1课时

一、一元一次不等式组的有关概念

二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第55页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第55页习题2.8的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.不等式组的整数解有

(

) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.在平面直角坐标系内,点P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围为

(

) A.31;②x>4;③x<2;④2-x>-1.从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组的组合是 (

) A.①与②

B.②与③

C.③与④

D.①与④

4.方程组的解x,y满足x>y,则m的取值范围是

(

) A.m> B.m> C.m> D.m> 【能力提升】

5.若不等式组无解,则m的取值范围是

.

6.(2015·珠海中考改编)不等式组的解集是

.

7.不等式组的解集为x>2,则a的取值范围是

.

8.若不等式组的解集为-1

.

9.若不等式组无解,则a的取值范围是

.

【拓展探究】

10.解下列不等式组: (1)2x<1-x≤x+5; (2) 11.求同时满足不等式6x-2≥3x-4和-<1的整数x的值.

12.求不等式组的非负整数解.

【答案与解析】

1.C(解析:分别求出不等式组中两个不等式的解集,找出解集的公共部分,确定出不等式组的解集,找出解集中的整数解的个数即可.故选C.) 2.A(解析:根据第四象限内点的坐标的特征得解得34;B.②与③无解;C.③与④的解集是x<2;D.①与④的解集是1y可得到>,解得m>.故选D.) 5.m≥2(解析:∵不等式组无解,∴m+1≤2m-1,解得m≥2.故填m≥2.) 6.2-3.

11.解:解不等式6x-2≥3x-4,得x≥-;解不等式-<1,得x<.所以同时满足两不等式的x的值满足-≤x<,所以整数x的值为0.

12.解:解不等式组可得其解集为x≤, 所以不等式组的非负整数解为0,1,2,3,4,5.

充分利用数形结合思想来求各个不等式解集的公共部分,即求一元一次不等式组的解集,从而突破了本课的难点,这是本课最突出的亮点.

在对整节课的时间把握上有所欠缺,致使拖堂,当然这也存在着经验不足,没有预先设计的问题.还应更注重细节,讲究规范,强调反思.

在对本节课系统的回顾、梳理过程中,教师要适时给予恰当引导,发展学生分析问题和解决问题的能力,并给学困生提供更多发言的机会.

随堂练习(教材第55页) 1.提示:(1)

习题2.8(教材第56页) 1.提示:(1)4. (3)21.

2.提示:不等式组的解集是组成该不等式组的每一个不等式的解集的公共部分,所以,每一个不等式的解集不一定是其组成的不等式组的解集.

3.提示:a≤3.

4.解:设大约要用x小时才能将这堆石料装完,根据题意,得1800≤50x≤2200,解得36≤x≤44.答:大约要用36至44小时才能将这堆石料装完.

在本章前面几节课的学习中,学生已经学习了一元一次不等式的概念,掌握了解一元一次不等式的基本技能.在相关知识的学习过程中,学生会利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题,感受到了不等式在生活中的广泛应用,同时在以前的数学学习中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力,学生已初步掌握了类比思想、化归思想和数形结合思想,认识到类比、化归和数形结合思想在思考、解决数学问题中的优越性,这对本课的学习是有益的,但还要注意加强学生学习的主动性和探究性.

一元一次不等式组是从已有的知识构建出发,遵从情境引入的理念,灵活地、创设性地处理教材的一节课.我们知道求未知数取值范围的问题是普遍存在的,在涉及两个以上数量间的大小关系的问题中,不等式组是解决这些问题的有力工具,因此必须学会求解一元一次不等式组,可见本节课在这一章中具有举足轻重的地位.

本课时教学应为学生提供个性化的学习时间和空间,鼓励学生利用类比思想和数形结合思想自主探究,合作交流,大胆表述,满足学生多样化的学习要求.此外,二元一次方程组与一元一次不等式组两者之间既有联系又有差异,因此,在教学中一要注重类比,做好从方程组到不等式组的迁移;二要重视化归、数形结合等数学思想方法的渗透.

第课时

1.会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组,并能用数轴求得解集; 2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形.

通过总结解一元一次不等式组的步骤,培养学生的类比推理能力和不完全归纳能力.

1.培养学生独立思考的习惯,加强运算的熟练性与准确性.

2.培养学生的合作交流意识与创新意识,为学生在今后的生活和学习中更好地运用数学做准备.

【重点】

巩固解一元一次不等式组.

【难点】

讨论求不等式组解集时出现的所有情况,并能清晰地阐述自己的观点.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习上一节一元一次不等式组的解法.

导入一:

现有两根木条a和b,a长7 cm,b长3 cm,如果要再找一根长为x cm的木条,用这三根木条钉成一个三角形木框,请动手试一试: (1)当x等于14时,能与a和b钉成三角形木框吗? (2)当x等于9时,能与a和b钉成三角形木框吗? (3)当x等于4时,能与a和b钉成三角形木框吗?

(4)在什么条件下,长度为3 cm,7 cm,x cm的三条线段可以围成三角形? [设计意图]

引导学生进行操作、观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,让学生亲自动手,亲身体验,使学生理解x并不是可以取任意值,要围成三角形,x的取值有一定的限制,让学生深深感受到数学与生活实际是密不可分的.

导入二:

上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组,本节课我们将继续加强解法的熟练性和准确性,同时还要全面地对所有解的情况进行总结.

[设计意图]

直接引入课题,开门见山,引起学生的注意,有利于后面的教学.

例题讲解

[过渡语]

同学们,下面我们来研究由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形.

(补充例题)解下列不等式组.

(1)

(2) (3) (4) 师:在做这组练习题之前,我们先回忆一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的步骤.

生:解一元一次不等式的步骤大致为:去分母,去括号,移项、合并同类项,系数化成1.要注意的是在去分母和系数化成1这两步中,不等号的方向是否改变.解一元一次不等式组的步骤:分别求出组成不等式组的每个一元一次不等式的解集,在同一条数轴上确定它们的公共部分,从而得出不等式组的解集.

师:很好.下面请同学们先自己独立完成这四个不等式组的求解.

生1:(1) 解:解不等式①,得x>1, 解不等式②,得x>-4.

在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:

所以,原不等式组的解集是x>1.

生2:(2) 解:解不等式①,得x<, 解不等式②,得x<.

在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示: 所以,原不等式组的解集是x<. 生3:(3) 解:解不等式①,得x>.

解不等式②,得x<4.

在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:

所以,原不等式组的解集是

生4:(4) 解:解不等式①,得x>4.

解不等式②,得x<3.

在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示: 所以,原不等式组无解.

师:大家做得非常棒,下面大家认真观察一下这四组解,你发现了什么? 教师引导学生从每个不等式的解集,到这个不等式组的解集认真观察,互相交流,找出规律.

(1)由得x>1; (2)由得x<; (3)由得

生1:由(1)得,两个不等式的解集中不等号都是大于号,在不等式组的解集中,数值取1和-4中比较大的数1,不等号取大于号.

生2:由(2)得,两个不等式的解集中不等号都是小于号,在不等式组的解集中不等号取小于号,而数值取和中比较小的数.

生3:由(3)得,两个不等式的解集中不等号有大于号也有小于号,数值<4,并且是x>,x<4,不等式组的解集中x取大于小数且小于大数的数,即

生4:由(4)得,两个不等式的解集中不等号有大于号也有小于号,并且是x>4,x<3,即x应取大于4且小于3的数,而这样的数根本不存在,所以原不等式组无解.

师:大家分析得非常精彩,基本上说明了情况,下面我再系统地给大家做一下总结: 由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形,设ab; (2)不等式组的解集是x

这是用式子表示,也可以用语言简单表述为:同大取大;同小取小;大小小大取中间;大大小小是无解.

一元一次不等式组解集的表示方法及记忆规律: 不等式

解集

用数轴表示

口诀

组(ab

同大取大

x

同小取小

大小小大

a

取中间

大大小小

无解

是无解

1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是

(

) A. B. C. D. 解析:B中含有两个未知数x,y;C中化简后x的最高次数是2;D中不等式2<3没有未知数x.故选A.

2.下列说法正确的是

(

) A.不等式组的解集是55;B,D中不等式组无解.故选C.

3.不等式组的最小整数解为

(

) A.-1 B.0 C.1 D.4 解析:不等式组的解集为-

4.(2015·汕尾中考)使不等式x-1≥2与3x-7<8同时成立的x的整数值是

(

) A.3,4 B.4,5 C.3,4,5 D.不存在

解析:解不等式组得3≤x<5,∴使不等式x-1≥2与3x-7<8同时成立的x的整数值是3,4.故选A.

5.若不等式组有解,则m的取值范围是

.

答案:m<2 第2课时

例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第58页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第59页习题2.9的1,2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.不等式组的解集是

(

) A.x>2 B.x<3 C.2

2.(2015·恩施中考)关于x的不等式组的解集为x<3,那么m的取值范围为

(

) A.m=3 B.m>3 C.m<3 D.m≥3 3.小宝和爸爸,妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为69千克,坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸的一端仍然着地.后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被跷起,那么小宝的体重可能是

(

) A.23.2千克

B.23千克

C.21.1千克

D.19.9千克

【能力提升】

20064.若不等式组的解集是-1

.

5.不等式组的解集为

.

6.在关于x1,x2,x3的方程组中,已知a1>a2>a3,请将x1,x2,x3按从大到小的顺序排列起来.

【拓展探究】

7.为节约用电,某学校于本学期初制定了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用2度电,那么本学期用电量将会超过2530度;如果实际每天比计划少用2度电,那么本学期用电量将不会超过2200度.若本学期的在校时间为110天,则学校每天计划用电量在什么范围内? 8.某宾馆底层客房比二楼少5间,某旅游团有48人,若全安排在底层,每间住4人,则房间不够;每间住5人,则有房间没有住满5人;若全安排在二楼,每间住3人,则房间不够;每间住4人,则有房间没有住满4人.求该宾馆底层有客房多少间.

【答案与解析】

1.C 2.D(解析:解不等式组,可得又不等式组的解集为x<3,所以m≥3.故选D.) 3.C(解析:设小宝的体重为x千克,根据题意,得解这个不等式组得212(x-1)得x>-4,解不等式x+8>4x-1得x<3,所以不等式组的解集为-4a2>a3,所以x1-x2=(a1+a3-a2)-(a1+a2-a3)=a3-a2<0,所以x1x3,所以x3

7.解:设学校每天计划用电量为x度,依题意,得解得21

8.解:设该宾馆底层有客房x间,则二楼有客房(x+5)间,根据题意得解得

本节课重在培养学生独立思考的习惯及合作交流的意识.在每一个教学环节中都有独立思考、小组讨论、小组交流及归纳总结的过程,从而发展了学生的感性认识与理性认识,为学生后续的学习奠定了良好基础.

当预设节奏与课堂的实际节奏不一致时不知该如何处理,因为缺乏经验,所以有待于进一步提高.

通过探究新知的环节鼓励学生自主探究,让学生真正去思考、去尝试,让学生变得更会思考了,解决问题的能力也加强了,真正体现学生的主体地位.

随堂练习(教材第58页) 1.提示:(1)无解. (2)x>3.

2.提示:该校计划每月烧煤20~22 t(不含20 t和22 t).

习题2.9(教材第59页) 1.提示:(1)x<-10. (2)-1≤x<3. (3)x<-10. (4)-≤x≤.

2.解:由题意得3<1-a<1-2a,解得a<-2.

3.解:(答案不唯一)其解集为0≤x≤8.

4.解:由得因为其解集为-1

复习题(教材第61页) 1.a>0

a<0 2.提示:(1)x<-2. (2)x>-1. (3)x<-12. (4)x≥4. (5)x≤-. (6)x>6. (7)x<-. (8)x>-.(数轴表示略) 23.解:(1)x+1<0. (2)x≥0. (3)2x-(-3)<0. (4)10≤5a-3≤20.

4.提示:(1)-3-. (2)x=-. (3)x<-.

6.提示:正整数解为1,2,3,…,12.

7.提示:(1)-1≤x<2. (2)x≥-1.

8.(1)√

(2)√

(3)√

(4)√

(5)✕

(6)✕

9.(1)>

(2)<

(3)<

(4)>

(5)<

(6)< 10.B 11.(1)<

(2)>

(3)> 12.解:设甲旅行社收费y1元,乙旅行社收费y2元,根据题意,得y1=500×2+500×x,即y1=350x+1000;y2=500×(x+2),即y2=400x+800.当y1>y2时,解得x<4;当y1=y2时,解得x=4;当y14.故当两位家长带领少于4名学生去旅游时,选择乙旅行社;当带领4名学生去旅游时,选择两家旅行社都可以;当带领超过4名学生去旅游时,选择甲旅行社.

13.解:设超市购进这批水果的总质量为p千克,每千克进价为q元.(1)最终销售额为p(1-225%)·q(1+5%)=pq·[1-(5%)](元).因为pq[1-(5%)]

14.解:解方程3x+a=x-7,得x=,根据题意,得>0,则a<-7.

15.解:设招聘A工种的工人x人,则招聘B工种的工人(150-x)人,根据题意,得150-x≥2x,解得x≤50.所付工资总额为1500x+3000×(150-x)=450000-1500x,因为-1500<0,所以当x=50时,所付工资总额最少.即当招聘A工种工人50人时,可使每月所付的工资总额最少.

16.提示:(1)>

=

>

=

(2)任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍,当且仅当这两个数相2222222等时取等号,即a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号). (3)因为(a-b)≥0,即a-2ab+b≥0,所以a+b≥2ab.

某县响应“建设环保节约型社会”的号召,决定资助部分村镇修建一批沼气池,使农民用到经济、环保的沼气能源.幸福村共有264户村民,政府补助村里34万元,不足部分由村民集资.修建A型、B型沼气池共20个.两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表所示: 修建费用

可供使用

占地面积

沼气池

(万元/户数(户/2(m/个) 个) 个) A型

3 20 48 B型

2 3 6 2政府相关部门批给该村沼气池修建用地708 m.设修建A型沼气池x个,修建两种型号沼气池共需费用y万元.

(1)用含有x的代数式表示y; (2)不超过政府批给修建沼气池的用地面积,又要使该村每户村民都能用上沼气的修建方案有几种? (3)若平均每户村民集资700元,能否满足所需费用最少的修建方案? 解:(1)y=3x+2(20-x)=x+40.

(2)由题意可得:

解不等式①得x≥12, 解不等式②得x≤14.

∴不等式组的解集为12≤x≤14.

由题意可知x是正整数, ∴x的取值为12,13,14.

即有3种修建方案: 方案一:修建A型沼气池12个,B型沼气池8个; 方案二:修建A型沼气池13个,B型沼气池7个; 方案三:修建A型沼气池14个,B型沼气池6个.

(3)由(1)知y=x+40,y随x的增加而增加, 要使费用最少,则x=12.

∴最少费用为y=x+40=52(万元).

村民集资与政府补助共计:700×264+340000=524800(元), 524800>520000, ∴每户集资700元能满足所需要费用最少的修建方案.

火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A,B两种型号的车厢将这批货物运至北京,已知每节A型车厢的运费是0.5万元,每节B型车厢的运费是0.8万元;甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型车厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型车厢,要安排A,B两种车厢的节数,共有哪几种方案?请你设计出来,并说明哪种方案的运费最少.

解:设A型车厢用x节,则B型车厢用(50-x)节,根据题意,得:

解这个不等式组,得28≤x≤30.

由题意知x应为整数,所以x可取28,29,30.

因此运送方案有三种: (1)安排A型车厢28节,B型车厢22节; (2)安排A型车厢29节,B型车厢21节; (3)安排A型车厢30节,B型车厢20节.

设运费为y万元,则y=0.5x+0.8(50-x)=40-0.3x.

当x=28时,y=31.6;

当x=29时,y=31.3; 当x=30时,y=31.

因此,选第三种方案,即安排A型车厢30节,B型车厢20节时运费最少.